最大子矩阵问题实例解析

问题：
求一个M*N的矩阵的最大子矩阵和。
比如在如下这个矩阵中：

 0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

拥有最大和的子矩阵为：

 9 2
-4 1
-1 8

其和为15。
思路：
首先，这个子矩阵可以是任意大小的，而且起始点也可以在任何地方，所以，要把最大子矩阵找出来，我们要考虑多种情况。
假定原始矩阵的行数为M，那么对于子矩阵，它的行数可以是1到M的任何一个数，而且，对于一个K行（K < M）的子矩阵，它的第一行可以是原始矩阵的第1行到 M - K + 1 的任意一行。
例子：
对于上面的矩阵，如果子矩阵的行数是2，那么它可以是下面几个矩阵的子矩阵：

 0 -2 -7 0
 9 2 -6 2

或者

 9 2 -6 2
-4 1 -4 1

或者

-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

在每一种情况里（我们这里有三种），我们还要找出一个最大的子矩阵，当然，这只是一种情况的最大子矩阵（局部最大），不一定是global最大。但是，如果我们知道每一种情况的最大，要找出global最大，那就小菜一碟儿了。
在讲在一个特殊情况下求最大子矩阵之前，先讲一个事实：
假设这个最大子矩阵的维数是一维，要找出最大子矩阵, 原理与求“最大子段和问题” 是一样的。最大子段和问题的递推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是从0开始到j的最大子段和。

Java实现示例：
假设原始矩阵为：[9，  2， -6，  2]， 那么b[] = {9, 11, 5, 7}, 那么最大字段和为11， 如果找最大子矩阵的话，那么这个子矩阵是 [9， 2]
求最大子段和的代码如下：

public int maxSubsequence(int[] array) {
 if (array.length == 0) {
 return 0;
 }
 int max = Integer.MIN_VALUE;
 int[] maxSub = new int[array.length];
 maxSub[0] = array[0];

 for (int i = 1; i < array.length; i++) {
 maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + array[i]) : array[i];
 if (max < maxSub[i]) {
 max = maxSub[i];
 }
 }
 return max;
 }

但是，原始矩阵可以是二维的。假设原始矩阵是一个3 * n 的矩阵，那么它的子矩阵可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。 如果是1*K，这里有3种情况：子矩阵在第一行，子矩阵在第二行，子矩阵在第三行。如果是 2 * k，这里有两种情况，子矩阵在第一、二行，子矩阵在第二、三行。如果是3 * k，只有一种情况。
为了能够找出最大的子矩阵，我们需要考虑所有的情况。假设这个子矩阵是 2 *k, 也就是说它只有两行，要找出最大子矩阵，我们要从左到右不断的遍历才能找出在这种情况下的最大子矩阵。如果我们把这两行上下相加，情况就和求“最大子段和问题” 又是一样的了。
为了找出在原始矩阵里的最大子矩阵，我们要遍历所有的子矩阵的可能情况，也就是说，我们要考虑这个子矩阵有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一种情况下，我们都要把它所对应的矩阵部分上下相加才求最大子矩阵（局部）。
比如，假设子矩阵是一个3*k的矩阵，而且，它的一行是原始矩阵的第二行，那么，我们就要在

 9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

里找最大的子矩阵。
如果把它上下相加，我们就变成了 4, 11, -10,1， 从这个数列里可以看出，在这种情况下，最大子矩阵是一个3*2的矩阵，最大和是15.
为了能够在原始矩阵里很快得到从 i 行到 j 行 的上下值之和，我们这里用到了一个辅助矩阵，它是原始矩阵从上到下加下来的。
假设原始矩阵是matrix, 它每一层上下相加后得到的矩阵是total，那么我们可以通过如下代码实现：

int[][] total = matrix;
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
 for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
 total[i][j] += total[i-1][j];
 }
}

如果我们要求第 i 行到第 j 行之间上下值的和，我们可以通过total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的范围从1 到 matrix[0].length - 1。
有了这些知识点，我们只需要在所有的情况下，把它们所对应的局部最大子矩阵进行比较，就可以得到全局最大的子矩阵。代码如下：

public int subMaxMatrix(int[][] matrix) {

 int[][] total = matrix;
 for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
 for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
 total[i][j] += total[i-1][j];
 }
 }

 int maximum = Integer.MIN_VALUE;
 for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
 for (int j = i; j < matrix.length; j++) {
 //result 保存的是从 i 行 到第 j 行 所对应的矩阵上下值的和
        int[] result = new int[matrix[0].length];
 for (int f = 0; f < matrix[0].length; f++) {
  if (i == 0) {
  result[f] = total[j][f];
  } else {
  result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];
  }
 }
 int maximal = maxSubsequence(result);

 if (maximal > maximum) {
  maximum = maximal;
 }
 }
 }

 return maximum;
 }

C语言相关的实现

题目

题目描述： 
    已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。 
    比如，如下4 * 4的矩阵

 0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
 -4 1 -4 1
 -1 8 0 -2

的最大子矩阵是

 9 2
 -4 1
 -1 8

这个子矩阵的大小是15。 
    输入： 
    输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。 
    再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。 
    已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。 
    输出： 
    测试数据可能有多组，对于每组测试数据，输出最大子矩阵的大小。 
    样例输入：  
    4 
    0 -2 -7 0 
    9 2 -6 2 
    -4 1 -4  1 
    -1 8  0 -2  
    样例输出： 
    15

AC代码

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h> 

 int main(void)
 {
  int i, j, h, k, n, max, sum, cur, matrix[101][101]; 

  while (scanf("%d", &n) != EOF) {
   // 初始化接收矩阵
   for (i = 0; i < n; i ++) {
    for (j = 0; j < n; j ++)
     scanf("%d", *(matrix + i) + j);
   } 

   // 动态规划(类似于一维数组连续最大子序列和)
   max = matrix[0][0]; 

   for (i = 0; i < n; i ++) {
    // i，j确定上下界
    for (j = i; j < n; j ++) {
     // 初始化
     for (k = i, sum = 0; k <= j; k ++)
      sum += matrix[k][0];
     if (sum > max)
      max = sum; 

     for (h = 1; h < n; h ++) {
      for (k = i, cur = 0; k <= j; k ++)
       cur += matrix[k][h]; 

      if (sum >= 0)
       sum += cur;
      else
       sum = cur; 

      if (sum > max) max = sum;
     }
    }
   } 

   printf("%d\n", max);
  } 

  return 0;
 }