Python 经典贪心算法之Prim算法案例详解

最小生成树的Prim算法也是贪心算法的一大经典应用。Prim算法的特点是时刻维护一棵树，算法不断加边，加的过程始终是一棵树。

Prim算法过程：
一条边一条边地加， 维护一棵树。

初始 E ＝ ｛｝空集合， V = ｛任选的一个起始节点｝
循环（n – 1）次，每次选择一条边（v1,v2）， 满足：v1属于V , v2不属于V。且（v1,v2）权值最小。
E = E + （v1,v2）
V = V + v2

最终E中的边是一棵最小生成树， V包含了全部节点。

以下图为例介绍Prim算法的执行过程。

Prim算法的过程从A开始 V = {A}, E = {}

选中边AF , V = {A, F}, E = {(A,F)} 

选中边FB, V = {A, F, B}, E = {(A,F), (F,B)}

选中边BD, V = {A, B, F, D},   E = {(A,F), (F,B), (B,D)}

选中边DE, V = {A, B, F, D, E},   E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E)}

选中边BC, V = {A, B, F, D, E, c},   E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E), (B,C)}, 算法结束。

Prim算法的证明：假设Prim算法得到一棵树P，有一棵最小生成树T。假设P和T不同，我们假设Prim算法进行到第(K – 1)步时选择的边都在T中，这时Prim算法的树是P', 第K步时,Prim算法选择了一条边e = (u, v)不在T中。假设u在P'中，而v不在。

因为T是树，所以T中必然有一条u到v的路径，我们考虑这条路径上第一个点u在P'中，最后一个点v不在P'中，则路径上一定有一条边f = (x,y)，x在P'中，而且y不在P'中。
我们考虑f和e的边权w(f)与w(e)的关系： 若w(f) > w(e)，在T中用e换掉f （T中加上e去掉f)，得到一个权值和更小的生成树，与T是最小生成树矛盾。
若w(f) < w(e), Prim算法在第K步时应该考虑加边f，而不是e,矛盾。

因此只有w(f) = w(e),我们在T中用e换掉f，这样Prim算法在前K步选择的边在T中了，有限步之后把T变成P,而树权值和不变， 从而Prim算法是正确的。
请仔细理解Prim算法——时刻维护一棵生成树。我们的证明构造性地证明了所有地最小生成树地边权（多重）集合都相同！

N个点M条边的无向连通图，每条边有一个权值，求该图的最小生成树。

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

输入

第1行：2个数N,M中间用空格分隔，N为点的数量，M为边的数量。（2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000)
第2 - M + 1行：每行3个数S E W，分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N，1 <= W <= 10000)

输出

输出最小生成树的所有边的权值之和。

输入示例

9 14
1 2 4
2 3 8
3 4 7
4 5 9
5 6 10
6 7 2
7 8 1
8 9 7
2 8 11
3 9 2
7 9 6
3 6 4
4 6 14
1 8 8

输出示例

37

maxv=10001
n,m=list(map(int,input().split()))
E=[]
V=set([1])
cost=[]
for i in range(n+1):
    a=[]
    for j in range(n+1):
        a.append(maxv)
    cost.append(a)
for i in range(m):
    s,e,w=list(map(int,input().split()))
    cost[s][e]=w
    cost[e][s]=w
closet=[0]
lowcost=[maxv]
for i in range(1,n+1):
    closet.append(1)
    lowcost.append(cost[1][i])
ans=0
for i in range(n-1):
    k=0
    for j in range(2,n+1):
        if (lowcost[j]!=0) and (lowcost[j]<lowcost[k]):k=j

    for j in range(2,n+1):
        if cost[j][k]<lowcost[j]:
            lowcost[j]=cost[j][k]
            closet[j]=k
    ans+=lowcost[k]
    lowcost[k]=0
print(ans)

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