Python数学建模StatsModels统计回归可视化示例详解

目录

• 1、如何认识可视化？
• 2、StatsModels 绘图工具包 （Graphics）
• 3、Matplotlib 绘图工具包
• 4、Seaborn 绘图工具包
• 5、多元回归案例分析（Statsmodels）
• 5.1 问题描述
• 5.2 问题分析
• 观察数据分布特征
• 观察数据间的相关性
• 建模与拟合
• 6、Python 例程（Statsmodels）
• 6.1 问题描述
• 6.2 Python 程序
• 6.3 程序运行结果：

1、如何认识可视化？

需要指出的是，虽然不同绘图工具包的功能、效果会有差异，但在常用功能上相差并不是很大。与选择哪种绘图工具包相比，更重要的是针对不同的问题，需要思考选择什么方式、何种图形去展示分析过程和结果。换句话说，可视化只是手段和形式，手段要为目的服务，形式要为内容服务，这个关系一定不能颠倒了。

因此，可视化是伴随着分析问题、解决问题的过程而进行思考、设计和实现的，而且还会影响问题的分析和解决过程：

• 可视化工具是数据探索的常用手段

回归分析是基于数据的建模，在导入数据后首先要进行数据探索，对给出的或收集的数据有个大概的了解，主要包括数据质量探索和数据特征分析。数据准备中的异常值分析，往往就需要用到箱形图（Boxplot）。对于数据特征的分析，经常使用频率分布图或频率分布直方图（Hist），饼图（Pie）。

• 分析问题需要可视化工具的帮助

对于问题中变量之间的关系，有些可以通过定性分析来确定或猜想，需要进一步的验证，有些复杂关系难以由分析得到，则要通过对数据进行初步的相关分析来寻找线索。在分析问题、尝试求解的过程中，虽然可以得到各种统计量、特征值，但可视化图形能提供更快捷、直观、丰富的信息，对于发现规律、产生灵感很有帮助。

• 解题过程需要可视化工具的支持

在解决问题的过程中，也经常会希望尽快获得初步的结果、总体的评价，以便确认解决问题的思路和方法是否正确。这些情况下，我们更关心的往往是绘图的便捷性，图形的表现效果反而是次要的。

• 可视化是结果发布的重要内容

问题解决之后需要对结果进行呈现或发表，这时则需要结合表达的需要，特别是表达的逻辑框架，设计可视化的方案，选择适当的图形种类和形式，准备图形数据。在此基础上，才谈得上选择何种绘图工具包，如何呈现更好的表现效果。

2、StatsModels 绘图工具包 （Graphics）

Statsmodels 本身支持绘图功能（Graphics），包括拟合图（Fit Plots）、箱线图（Box Plots）、相关图（Correlation Plots）、函数图（Functional Plots）、回归图（Regression Plots）和时间序列图（Time Series Plots）。

Statsmodels 内置绘图功能 Graphics 的使用似乎并不流行，网络上的介绍也不多。分析其原因，一是 Graphics 做的并不太好用，文档和例程不友好，二是学习成本高：能用通用的可视化包实现的功能，何必还要花时间去学习一个专用的 Graphics？

下面是 Statsmodels 官方文档的例程，最简单的单变量线性回归问题，绘制样本数据散点图和拟合直线图。Graphics 提供了将拟合与绘图合二为一的函数 qqline()，但是为了绘制出样本数据则要调用 Matplotlib 的 matplotlib.pyplot.scatter()，所以…

import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.gofplots import qqline
foodexp = sm.datasets.engel.load(as_pandas=False)
x = foodexp.exog
y = foodexp.endog
ax = plt.subplot(111)
plt.scatter(x, y)
qqline(ax, "r", x, y)
plt.show()
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下图看起来有点象 Seaborn中的 relplot，但把官方文档研究了半天也没搞明白，只好直接分析例程和数据，最后的结论是：基本没啥用。

这大概就是更多用户直接选择 Python 的可视化工具包进行绘图的原因吧。最常用的当属 Matplotlib 无疑，而在统计回归分析中 Seaborn 绘图工具包则更好用更炫酷。

3、Matplotlib 绘图工具包

Matplotlib 绘图包就不用介绍了。Matplotlib 用于 Statsmodels 可视化，最大的优势在于Matplotlib 谁都会用，实现统计回归的基本图形的也很简单。如果需要复杂的图形，炫酷的效果，虽然 Matplotlib 原理上也能实现，但往往需要比较繁琐的数据准备，并不常用的函数和参数设置。既然学习成本高，出错概率大，就没必要非 Matplotlib 不可了。

Matplotlib 在统计回归问题中经常用到的是折线图、散点图、箱线图和直方图。这也是 Matplotlib 最常用的绘图形式，本系列文中也有相关例程，本文不再具体介绍相关函数的用法。

例如，在本系列《Python学习笔记-StatsModels 统计回归（2）线性回归》的例程和附图，不仅显示了原始检测数据、理论模型数据、拟合模型数据，而且给出了置信区间的上下限，看起来还是比较“高级”的。但是，如果把置信区间的边界线隐藏起来，图形马上就显得不那么“高级”，比较“平常”了——这就是选择什么方式、何种图形进行展示的区别。

由此所反映的问题，还是表达的逻辑和数据的准备：要表达什么内容，为什么要表达这个内容，有没有相应的数据？问题的关键并不是什么工具包或什么函数，更不是什么颜色什么线性，而是有没有置信区间上下限的数据。

如果需要复杂的图形，炫酷的效果，虽然 Matplotlib 原理上也能实现，但往往需要比较繁琐的数据准备，使用并不常用的函数和参数设置。学习成本高，出错概率大，就没必要非 Matplotlib 不可了。

4、Seaborn 绘图工具包

Seaborn 是在 Matplotlib 上构建的，支持 Scipy 和 Statamodels 的统计模型可视化，可以实现：

• 赏心悦目的内置主题及颜色主题
• 展示和比较 一维变量、二维变量 各变量的分布情况
• 可视化 线性回归模型中的独立变量和关联变量
• 可视化 矩阵数据，通过聚类算法探究矩阵间的结构
• 可视化 时间序列，展示不确定性
• 复杂的可视化，如在分割区域制图

Seaborn 绘图工具包以数据可视化为中心来挖掘与理解数据，本身就带有一定的统计回归功能，而且简单好用，特别适合进行定性分析、初步评价。

下图给出了几种常用的 Seaborn 图形，分别是带拟合线的直方图（distplot）、箱线图（boxplot）、散点图（scatterplot）和回归图（regplot），后文给出了对应的程序。

实际上，这些图形用 StatsModels Graphics、Matplotlib 也可以绘制，估计任何绘图包都可以实现。那么，为什么还要推荐 Seaborn 工具包，把这些图归入 Seaborn 的实例呢？我们来看看实现的例程就明白了：简单，便捷，舒服。不需要数据准备和变换处理，直接调用变量数据，自带回归功能；不需要复杂的参数设置，直接给出舒服的图形，自带图形风格设计。

    fig1, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))  # 创建一个 2行 2列的画布
    sns.distplot(df['price'], bins=10, ax=axes[0, 0])  # axes[0,1] 左上图
    sns.boxplot(df['price'], df['sales'], data=df, ax=axes[0, 1])  # axes[0,1] 右上图
    sns.scatterplot(x=df['advertise'], y=df['sales'], ax=axes[1, 0])  # axes[1,0] 左下图
    sns.regplot(x=df['difference'], y=df['sales'], ax=axes[1, 1])  # axes[1,1] 右下图
    plt.show()

5、多元回归案例分析（Statsmodels）

5.1 问题描述

数据文件中收集了 30个月本公司牙膏销售量、价格、广告费用及同期的市场均价。
　　（1）分析牙膏销售量与价格、广告投入之间的关系，建立数学模型；
　　（2）估计所建立数学模型的参数，进行统计分析；
　　（3）利用拟合模型，预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量。

本问题及数据来自：姜启源、谢金星，数学模型（第 3版），高等教育出版社。

5.2 问题分析

本案例在Python数学建模StatsModels统计回归模型数据的准备中就曾出现，文中还提到该文的例程并不是最佳的求解方法和结果。

这是因为该文例程是直接将所有给出的特征变量（销售价格、市场均价、广告费、价格差）都作为自变量，直接进行线性回归。谢金星老师说，这不科学。科学的方法是先分析这些特征变量对目标变量（销量）的影响，然后选择能影响目标的特征变量，或者对特征变量进行适当变换（如：平方、对数）后，再进行线性回归。以下参考视频教程中的解题思路进行分析。

观察数据分布特征

案例问题的数据量很小，数据完整规范，实际上并不需要进行数据探索和数据清洗，不过可以看一下数据的分布特性。例程和结果如下，我是没看出什么名堂来，与正态分布的差距都不小。

    # 数据探索：分布特征
    fig1, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))  # 创建一个 2行 2列的画布
    sns.distplot(dfData['price'], bins=10, ax=axes[0,0])  # axes[0,1] 左上图
    sns.distplot(dfData['average'], bins=10, ax=axes[0,1])  # axes[0,1] 右上图
    sns.distplot(dfData['advertise'], bins=10, ax=axes[1,0])  # axes[1,0] 左下图
    sns.distplot(dfData['difference'], bins=10, ax=axes[1,1])  # axes[1,1] 右下图
    plt.show()

观察数据间的相关性

既然将所有特征变量都作为自变量直接进行线性回归不科学，就要先对每个自变量与因变量的关系进行考察。

    # 数据探索：相关性
    fig2, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))  # 创建一个 2行 2列的画布
    sns.regplot(x=dfData['price'], y=dfData['sales'], ax=axes[0,0])
    sns.regplot(x=dfData['average'], y=dfData['sales'], ax=axes[0,1])
    sns.regplot(x=dfData['advertise'], y=dfData['sales'], ax=axes[1,0])
    sns.regplot(x=dfData['difference'], y=dfData['sales'], ax=axes[1,1])
    plt.show()
    # = 关注 Youcans，分享原创系列 https://blog.csdn.net/youcans =

单变量线性回归图还是很有价值的。首先上面两图（sales-price，sales-average）的数据点分散，与回归直线差的太远，说明与销量的相关性小——谢金星老师讲课中也是这样分析的。其次下面两图（sales-advertise，sales-difference）的线性度较高，至少比上图好多了，回归直线和置信区间也反映出线性关系。因此，可以将广告费（advertise）、价格差（difference）作为自变量建模进行线性回归。

进一步地，有人观察散点图后认为销量与广告费的关系（sales-advertise）更接近二次曲线，对此也可以通过回归图对 sales 与 advertise 进行高阶多项式回归拟合，结果如下图。

建模与拟合

模型1：将所有特征变量都作为自变量直接进行线性回归，这就是《模型数据的准备》中的方案。

模型 2：选择价格差（difference）、广告费（advertise）作为自变量建模进行线性回归。

模型 3：选择价格差（difference）、广告费（advertise）及广告费的平方项作为作为自变量建模进行线性回归。

下段给出了使用不同模型进行线性回归的例程和运行结果。对于这个问题的分析和结果讨论，谢金星老师在视频中讲的很详细，网络上也有不少相关文章。由于本文主要讲可视化，对结果就不做详细讨论了。

6、Python 例程（Statsmodels）

6.1 问题描述

数据文件中收集了 30个月本公司牙膏销售量、价格、广告费用及同期的市场均价。
　　（1）分析牙膏销售量与价格、广告投入之间的关系，建立数学模型；
　　（2）估计所建立数学模型的参数，进行统计分析；
　　（3）利用拟合模型，预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量。

6.2 Python 程序

# LinearRegression_v4.py
# v4.0: 分析和结果的可视化
# 日期：2021-05-08
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.sandbox.regression.predstd import wls_prediction_std
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
# 主程序 = 关注 Youcans，分享原创系列 https://blog.csdn.net/youcans =
def main():
    # 读取数据文件
    readPath = "../data/toothpaste.csv"  # 数据文件的地址和文件名
    dfOpenFile = pd.read_csv(readPath, header=0, sep=",")  # 间隔符为逗号，首行为标题行
    # 准备建模数据：分析因变量 Y(sales) 与 自变量 x1~x4  的关系
    dfData = dfOpenFile.dropna()  # 删除含有缺失值的数据
    sns.set_style('dark')
    # 数据探索：分布特征
    fig1, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))  # 创建一个 2行 2列的画布
    sns.distplot(dfData['price'], bins=10, ax=axes[0,0])  # axes[0,1] 左上图
    sns.distplot(dfData['average'], bins=10, ax=axes[0,1])  # axes[0,1] 右上图
    sns.distplot(dfData['advertise'], bins=10, ax=axes[1,0])  # axes[1,0] 左下图
    sns.distplot(dfData['difference'], bins=10, ax=axes[1,1])  # axes[1,1] 右下图
    plt.show()
    # 数据探索：相关性
    fig2, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))  # 创建一个 2行 2列的画布
    sns.regplot(x=dfData['price'], y=dfData['sales'], ax=axes[0,0])
    sns.regplot(x=dfData['average'], y=dfData['sales'], ax=axes[0,1])
    sns.regplot(x=dfData['advertise'], y=dfData['sales'], ax=axes[1,0])
    sns.regplot(x=dfData['difference'], y=dfData['sales'], ax=axes[1,1])
    plt.show()
    # 数据探索：考察自变量平方项的相关性
    fig3, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))  # 创建一个 2行 2列的画布
    sns.regplot(x=dfData['advertise'], y=dfData['sales'], order=2, ax=axes[0])  # order=2, 按 y=b*x**2 回归
    sns.regplot(x=dfData['difference'], y=dfData['sales'], order=2, ax=axes[1])  # YouCans, XUPT
    plt.show()
    # 线性回归：分析因变量 Y(sales) 与 自变量 X1(Price diffrence)、X2(Advertise) 的关系
    y = dfData['sales']  # 根据因变量列名 list，建立 因变量数据集
    x0 = np.ones(dfData.shape[0])  # 截距列 x0=[1,...1]
    x1 = dfData['difference']  # 价格差，x4 = x1 - x2
    x2 = dfData['advertise']  # 广告费
    x3 = dfData['price']  # 销售价格
    x4 = dfData['average']  # 市场均价
    x5 = x2**2  # 广告费的二次元
    x6 = x1 * x2  # 考察两个变量的相互作用
    # Model 1：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + e
    # # 线性回归：分析因变量 Y(sales) 与 自变量 X1(Price diffrence)、X2(Advertise) 的关系
    X = np.column_stack((x0,x1,x2))  # [x0,x1,x2]
    Model1 = sm.OLS(y, X)  # 建立 OLS 模型: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + e
    result1 = Model1.fit()  # 返回模型拟合结果
    yFit1 = result1.fittedvalues  # 模型拟合的 y 值
    prstd, ivLow, ivUp = wls_prediction_std(result1) # 返回标准偏差和置信区间
    print(result1.summary())  # 输出回归分析的摘要
    print("\nModel1: Y = b0 + b1*X + b2*X2")
    print('Parameters: ', result1.params)  # 输出：拟合模型的系数
    # # Model 2：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X3 + b4*X4 + e
    # 线性回归：分析因变量 Y(sales) 与 自变量 X1~X4 的关系
    X = np.column_stack((x0,x1,x2,x3,x4))  #[x0,x1,x2,...,x4]
    Model2 = sm.OLS(y, X)  # 建立 OLS 模型: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X3 + e
    result2 = Model2.fit()  # 返回模型拟合结果
    yFit2 = result2.fittedvalues  # 模型拟合的 y 值
    prstd, ivLow, ivUp = wls_prediction_std(result2) # 返回标准偏差和置信区间
    print(result2.summary())  # 输出回归分析的摘要
    print("\nModel2: Y = b0 + b1*X + ... + b4*X4")
    print('Parameters: ', result2.params)  # 输出：拟合模型的系数
    # # Model 3：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2 + e
    # # 线性回归：分析因变量 Y(sales) 与 自变量 X1、X2 及 X2平方（X5）的关系
    X = np.column_stack((x0,x1,x2,x5))  # [x0,x1,x2,x2**2]
    Model3 = sm.OLS(y, X)  # 建立 OLS 模型: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2 + e
    result3 = Model3.fit()  # 返回模型拟合结果
    yFit3 = result3.fittedvalues  # 模型拟合的 y 值
    prstd, ivLow, ivUp = wls_prediction_std(result3) # 返回标准偏差和置信区间
    print(result3.summary())  # 输出回归分析的摘要
    print("\nModel3: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2")
    print('Parameters: ', result3.params)  # 输出：拟合模型的系数
    # 拟合结果绘图
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))  # YouCans, XUPT
    ax.plot(range(len(y)), y, 'b-.', label='Sample')  # 样本数据
    ax.plot(range(len(y)), yFit3, 'r-', label='Fitting')  # 拟合数据
    # ax.plot(range(len(y)), yFit2, 'm--', label='fitting')  # 拟合数据
    ax.plot(range(len(y)), ivUp, '--',color='pink',label="ConfR")  # 95% 置信区间 上限
    ax.plot(range(len(y)), ivLow, '--',color='pink')  # 95% 置信区间 下限
    ax.legend(loc='best')  # 显示图例
    plt.title('Regression analysis with sales of toothpaste')
    plt.xlabel('period')
    plt.ylabel('sales')
    plt.show()
    return
if __name__ == '__main__':
    main()

6.3 程序运行结果：

                            OLS Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable:                  sales   R-squared:                       0.886
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.878
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     105.0
Date:                Sat, 08 May 2021   Prob (F-statistic):           1.84e-13
Time:                        22:18:04   Log-Likelihood:                 2.0347
No. Observations:                  30   AIC:                             1.931
Df Residuals:                      27   BIC:                             6.134
Df Model:                           2
Covariance Type:            nonrobust
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const          4.4075      0.722      6.102      0.000       2.925       5.890
x1             1.5883      0.299      5.304      0.000       0.974       2.203
x2             0.5635      0.119      4.733      0.000       0.319       0.808
==============================================================================
Omnibus:                        1.445   Durbin-Watson:                   1.627
Prob(Omnibus):                  0.486   Jarque-Bera (JB):                0.487
Skew:                           0.195   Prob(JB):                        0.784
Kurtosis:                       3.486   Cond. No.                         115.
==============================================================================
Model1: Y = b0 + b1*X + b2*X2
Parameters:
const    4.407493
x1       1.588286
x2       0.563482
                            OLS Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable:                  sales   R-squared:                       0.895
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.883
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     74.20
Date:                Sat, 08 May 2021   Prob (F-statistic):           7.12e-13
Time:                        22:18:04   Log-Likelihood:                 3.3225
No. Observations:                  30   AIC:                             1.355
Df Residuals:                      26   BIC:                             6.960
Df Model:                           3
Covariance Type:            nonrobust
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const          8.0368      2.480      3.241      0.003       2.940      13.134
x1             1.3832      0.288      4.798      0.000       0.791       1.976
x2             0.4927      0.125      3.938      0.001       0.236       0.750
x3            -1.1184      0.398     -2.811      0.009      -1.936      -0.300
x4             0.2648      0.199      1.332      0.195      -0.144       0.674
==============================================================================
Omnibus:                        0.141   Durbin-Watson:                   1.762
Prob(Omnibus):                  0.932   Jarque-Bera (JB):                0.030
Skew:                           0.052   Prob(JB):                        0.985
Kurtosis:                       2.885   Cond. No.                     2.68e+16
==============================================================================
Model2: Y = b0 + b1*X + ... + b4*X4
Parameters:
const    8.036813
x1       1.383207
x2       0.492728
x3      -1.118418
x4       0.264789
                            OLS Regression Results
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Dep. Variable:                  sales   R-squared:                       0.905
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.894
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     82.94
Date:                Sat, 08 May 2021   Prob (F-statistic):           1.94e-13
Time:                        22:18:04   Log-Likelihood:                 4.8260
No. Observations:                  30   AIC:                            -1.652
Df Residuals:                      26   BIC:                             3.953
Df Model:                           3
Covariance Type:            nonrobust
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                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
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const         17.3244      5.641      3.071      0.005       5.728      28.921
x1             1.3070      0.304      4.305      0.000       0.683       1.931
x2            -3.6956      1.850     -1.997      0.056      -7.499       0.108
x3             0.3486      0.151      2.306      0.029       0.038       0.659
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Omnibus:                        0.631   Durbin-Watson:                   1.619
Prob(Omnibus):                  0.729   Jarque-Bera (JB):                0.716
Skew:                           0.203   Prob(JB):                        0.699
Kurtosis:                       2.362   Cond. No.                     6.33e+03
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Model3: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2
Parameters:
const    17.324369
x1        1.306989
x2       -3.695587
x3        0.348612

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