C++中实现fibonacci数列的几种方法

目录

• 前言
• 一、fibonacci数列是什么？
• 二、递归实现
• 1.递归的特点
• 2.C++实现
• 三、循环实现
• 1.C++实现
• 2.时间复杂度
• 四、矩阵实现
• 1.理论推导
• 2.C++实现
• 3.时间复杂度

前言

fibonacci数列的实现主要有三种方法：递归、循环与矩阵。这里主要学习了如何在C++中实现这三种方法以及分析它们各自的时间复杂度。

本文参考文章如下：https://www.jb51.net/article/235674.htm

一、fibonacci数列是什么？

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）

二、递归实现

1.递归的特点

• 递归：函数自己调用自己
• 递归的"缺陷"：递归到一定程度，会发生"栈溢出"
• 递归的"时间复杂度"：递归总次数*每次递归的次数
• 递归的"空间复杂度"：递归的深度*每次递归空间的大小（注意："每次递归空间的大小"是个常数，可以基本忽略不计）
• 递归的"深度"：树的高度（递归的过程是一个"二叉树"）

2.C++实现

int main(){
    int n;
    long long sum;  
    
    scanf("%d",&n);
    sum =fb(n);  
    printf("%lld\n",sum);
    
    return 0;
}
 
long long fb(int n){
    if(n<1){
        return 0;
        
    }else if(n==1||n==2){
        return 1;
    }
    return (fb(n-1)+fb(n-2));
}

3.时间复杂度

二叉树的高度是 n - 1，一个高度为k的二叉树最多可以有 2^k - 1个叶子节点，也就是递归过程函数调用的次数，所以时间复杂度为 O(2^n)，而空间复杂度就是树的高度 O(n)。

三、循环实现

1.C++实现

long long Fib(long long N)
{
    long long first = 1;
    long long second = 1;
    long long ret = 0;
    for (int i = 3; i <=N; ++i)
    {
        ret = first + second;
        first = second;
        second = ret;
    }
    return second;
}
int main()
{
    long long num = 0;
    num=Fib(10);
    printf("循环：%d\n", num);
    system("pause");
    return 0;
}

2.时间复杂度

• 时间复杂度：O(N)
• 空间复杂度：O(1)（创建了四个对象，是常数，所以可忽略不计）

四、矩阵实现

1.理论推导

斐波那契数列的递推公式是：f(n)=f(n-1)+f(n-2);

在线性代数中，类似于斐波那契数列这种递推式称为二阶递推式。我们可以用f(n)=af(n-1)+bf(n-2)将二阶递推式一般化。只要符合这种二阶递推式的算法，都可以将算法的时间复杂度降为O(logN)。当然，三阶，四阶....都可以，只要得到递推公式的n阶矩阵即可。如下：

f(n)=af(n-1)+bf(n-2)+......

(f(n),f(n-1))=(f(n-1),f(n-2))*matrix;(matrix是一个矩阵，几阶递推式就是几阶的矩阵，在这里是二阶的矩阵，斐波那契数列属于二阶)

……………………①

………………②

于是只要求得即可。

而类似求还可以简化（快速幂）

例如：

10^68，我们通常是10*10乘上68次，这样时间效率为O(N),我们要用O(logN)方法算:

68的二进制序列为：1000100

10^68=10^64*10^4，也就是取出68二进制序列为1的位，其他忽略。这样我们只算了7次（二进制序列的长度）就可以算出10^68，效率就达到了O(logN)。（最优化算法的关键所在）

所以时间复杂度可以达到最优化O（logN）。

2.C++实现

struct Matrix2By2 {
    Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0,    long long m11 = 0)
        :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {}
    long long m_00, m_01, m_10, m_11;
};
 
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2) {
    return Matrix2By2(  matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
                        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
                        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
                        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11    );
}
 
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) {
    assert(n > 0);
    Matrix2By2 matrix;
    if (n == 1)
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    else if (n % 2 == 0) {    // n是偶数
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else if (n % 2 == 1) {    // n是奇数
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }
    return matrix;
}
 
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n) {
    if (n <= 1) return n;
    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    return PowerNMinus2.m_00;
}

3.时间复杂度

O（logN）。

到此这篇关于C++中实现fibonacci数列的几种方法的文章就介绍到这了,更多相关C++ fibonacci数列内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！