C++中单调栈的基本性质介绍

单调栈的定义：

单调栈就是栈内元素单调递增或者单调递减的栈，单调栈只能在栈顶操作。

为了更好的理解单调栈，则可将单调栈用生活情形模拟实现，例如：

我们借用拿号排队的场景来说明下。现在有很多人在排队买可乐，每个人手里都拿着号，越靠前的人手里的号越小，

但是号不一定是连续的。小明拿了号后并没有去排队，而是跑去约会了。等他回来后，发现队伍已经排得很长了，

他不能直接插入到队伍里，不然人家以为他是来插队的。小明只能跑到队伍最后，挨个询问排队人手里的号，

小明认为号比他大的人都是“插队”的，于是小明就会施魔法把这些人变消失，直到小明找到号比他小的为止。

在上面这个场景里，大家排的队伍就像是单调栈，因为大家手里拿的号是单调递增的。

而小明找自己位置的这个过程就是元素加入单调栈的过程。新加入的元素如果加到栈顶后，

如果栈里的元素不再是单调递增了，那么我们就删除加入前的栈顶元素，

就像小明施魔法把“插队”的人变消失一样。直到新元素加入后，栈依然是单调递增时，我们才把元素加进栈里。

（这样做的目的是“维护”单调栈，是单调栈保持原来的单调性不变）

从数组的角度阐述单调栈的性质：

给定一个包含若干个整数的数组，我们从第 1 个元素开始依次加入单调栈里，并且加入后更新单调栈。

那么单调栈有这样的性质：对于单调递增的栈，如果此时栈顶元素为 b，加入新元素 a 后进行更新时，

如果 a 大于 b，说明 a 在数组里不能再往左扩展了（由于单调栈的单调递增性质，b前面的元素均小于a），

也就是说，如果从 a 在数组中的位置开始往左边遍历，则 a 一定是第一个比 b 大的元素；

如果 a 小于 b，说明在数组里，a 前面至少有一个元素不能扩展到 a 的位置(至少有b元素，因为b的值要大于a，如果此时再加入新的

a，那么单调栈便不再单调，所以元素a此时不能压入栈顶，因为这并不是元素a"应该"在的位置，只有当元素a找到自己的位置时

元素a方能压入栈中，而这样做的前提是不改变单调栈的单调性)，也就是对于这些元素来说，a 是其在数组右侧第一个比它小的元素。

单调栈的维护是 O(n) 级的时间复杂度，因为所有元素只会进入栈一次，并且出栈后再也不会进栈了。

单调栈的性质：

1.单调栈里的元素具有单调性

2.元素加入栈前，会在栈顶端把破坏栈单调性的元素都删除

3.使用单调栈可以找到元素向左遍历第一个比他小的元素，也可以找到元素向左遍历第一个比他大的元素。

对于第三条性质的解释（最常用的性质）：

对于单调栈的第三条性质，你可能会产生疑问，为什么使用单调栈可以找到元素向左遍历第一个比他大的元素，

而不是最后一个比他大的元素呢？我们可以从单调栈中元素的单调性来解释这个问题，由于单调栈中的元素只能是单调递增或者是单调

递减的，所以我们可以分别讨论这两种情况（假设不存在两个相同的元素）：

1.当单调栈中的元素是单调递增的时候，根据上面我们从数组的角度阐述单调栈的性质的叙述，可以得出：

（1）.当a > b 时，则将元素a插入栈顶，新的栈顶则为a

（2）.当a < b 时，则将从当前栈顶位置向前查找（边查找，栈顶元素边出栈），直到找到第一个比a小的数，停止查找，将元素a

插入栈顶（在当前找到的数之后，即此时元素a找到了自己的“位置”）

2.当单调栈中的元素是单调递减的时候，则有：

（1）.当a < b 时，则将元素a插入栈顶，新的栈顶则为a

（2）.当a > b 时，则将从当前栈顶位置向前查找（边查找，栈顶元素边出栈），直到找到第一个比a大的数，停止查找，将元素a

插入栈顶（在当前找到的数之后，即此时元素a找到了自己的“位置”）

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