C++ 动态规划算法使用分析

目录

• Fibonacci
• 字符串分割(Word Break)
• 三角矩阵(Triangle)
• 路径总数(Unique Paths)
• 最小路径和(Minimum Path Sum)

Fibonacci

题目描述：

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个正整数 n ，请你输出斐波那契数列的第 n 项。

解题思路：

1.递归

2.动态规划

状态：F(n)

状态递推：F(n)=F(n-1)+F(n-2)

初始值：F(1)=F(2)=1

返回结果：F(N)

代码实现：

法一：递归（效率低）：

class Solution{public: int Fibonacci(int n)
{        // 初始值
	if (n <= 0)
	{
		return 0;
	}
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return 1;
	}
	// F(n)=F(n-1)+F(n-2)
	return Fibonacci(n - 2) + Fibonacci(n - 1); }};

法二：动态规划

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n==1 || n==2)
            return 1;
        int fn;
        int fn1 = 1, fn2 = 1;
        for(int i = 2; i < n; i++)
        {
            fn = fn1 + fn2;
            fn1 = fn2;
            fn2 = fn;
        }

        return fn;
        /*上述解法的空间复杂度为O(n)
        其实F(n)只与它相邻的前两项有关，
        所以没有必要保存所有子问题的解
        只需要保存两个子问题的解就可以
        下面方法的空间复杂度将为O(1)*/
        if(n==1 || n==2)
            return 1;
        int* F = new int[n];
        //初始状态
        F[0] = 1;
        F[1] = 1;
        for(int i = 2; i < n; i++)
        {
            F[i] = F[i-1] + F[i-2];
        }

        return F[n-1];
    }
};

字符串分割(Word Break)

题目描述：

给定一个字符串s和一组单词dict，判断s是否可以用空格分割成一个单词序列，使得单词序列中所有的单词都是dict中的单词（序列可以包含一个或多个单词）。

例如:

给定s=“nowcode”；

dict=[“now”, “code”].

返回true，因为"nowcode"可以被分割成"now code".

解题思路：

状态：

• 子状态：前1，2，3，…,n个字符能否根据词典中的词被成功分词
• F(i): 前i个字符能否根据词典中的词被成功分词

状态递推：

• F(i): true{j <i && F(j) && substr[j+1,i]能在词典中找到} OR false 在j小于i中，只要能找到一个F(j)为true，并且从j+1到i之间的字符能在词典 中找到，则F(i)为true

初始值：

• 对于初始值无法确定的，可以引入一个不代表实际意义的空状态，作为状态的起始 空状态的值需要保证状态递推可以正确且顺利的进行，到底取什么值可以通过简单的例子进行验证 F(0) = true

返回结果：F(n)

代码实现：

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, unordered_set<string> &dict) {
        int len = s.size();
        vector<bool> F(len+1, false);
        F[0] = true;
        for(int i = 1; i <= len; i++)
        {
            //F[8]的状态：7<8 && F[7] && [8,8]
            //F[8]的状态：6<8 && F[6] && [7,8]
            for(int j = i-1; j >= 0; j--)
            {
                if(F[j] && dict.find(s.substr(j,i-j)) != dict.end())
                {
                    F[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }

        return F[len];
    }
};

三角矩阵(Triangle)

题目描述：

给出一个三角形，计算从三角形顶部到底部的最小路径和，每一步都可以移动到下面一行相邻的数字

例如，给出的三角形如下：

[[20],[30,40],[60,50,70],[40,10,80,30]]

解题思路：

状态：子状态：从(0,0)到(1,0),(1,1),(2,0),…(n,n)的最短路径和 F(i,j): 从(0,0)到(i,j)的最短路径和

状态递推： F(i,j) = min( F(i-1, j-1), F(i-1, j)) + triangle[i][j]

初始值： F(0,0) = triangle[0][0]返回结果： min(F(n-1, i))

代码实现：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.empty())
            return 0;
        int row = triangle.size();
        vector<vector<int> > minSum(triangle);
        for(int i = 1; i < row; i++)
        {
            for(int j = 0; j <= i; j++)
            {
                if(j == 0)
                    minSum[i][j] = minSum[i-1][j] + triangle[i][j];
                else if(j == i)
                    minSum[i][j] = minSum[i-1][j-1] + triangle[i][j];
                else
                    minSum[i][j] = min(minSum[i-1][j], minSum[i-1][j-1])
                                   + triangle[i][j];
            }
        }
        int result = minSum[row-1][0];
        for(int i = 1; i < triangle.size(); i++)
        {
            result = min(result, minSum[row-1][i]);
        }

        return result;
    }
};

路径总数(Unique Paths)

题目描述：

一个机器人在m×n大小的地图的左上角（起点）。 机器人每次可以向下或向右移动。机器人要到达地图的右下角（终点）。 可以有多少种不同的路径从起点走到终点？

解题思路：

状态：子状态：从(0,0)到达(1,0),(1,1),(2,1),…(m-1,n-1)的路径数 F(i,j): 从(0,0)到达F(i,j)的路径数

状态递推： F(i,j) = F(i-1,j) + F(i,j-1)

初始化： 特殊情况：第0行和第0列 F(0,i) = 1 F(i,0) = 1

返回结果： F(m-1,n-1)

代码实现：

class Solution {
public:
    /**
     *
     * @param m int整型
     * @param n int整型
     * @return int整型
     */
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // write code here
        vector<vector<int> > ret(m, vector<int>(n,1));
        for(int i = 1; i < m; i++)
        {
            for(int j = 1; j < n; j++)
            {
                ret[i][j] = ret[i-1][j] + ret[i][j-1];
            }
        }

        return ret[m-1][n-1];
    }
};

最小路径和(Minimum Path Sum)

题目描述：

给定一个由非负整数填充的m x n的二维数组，现在要从二维数组的左上角走到右下角，请找出路径上的所有数字之和最小的路径。 注意：你每次只能向下或向右移动。

解题思路：

状态：子状态：从(0,0)到达(1,0),(1,1),(2,1),…(m-1,n-1)的最短路径 F(i,j): 从(0,0)到达F(i,j)的最短路径。

状态递推： F(i,j) = min{F(i-1,j) , F(i,j-1)} + (i,j)

初始化： F(0,0) = (0,0) 特殊情况：第0行和第0列 F(0,i) = F(0,i-1) + (0,i) F(i,0) = F(i-1,0) + (i,0)

返回结果： F(m-1,n-1)

代码实现：

class Solution {
public:
    /**
     *
     * @param grid int整型vector<vector<>>
     * @return int整型
     */
    int minPathSum(vector<vector<int> >& grid) {
        // write code here
        if(grid.size() == 0 || grid[0].size() == 0)
            return 0;
        int M = grid.size();
        int N = grid[0].size();
        vector<vector<int> > ret(M, vector<int>(N,0));
        ret[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i < N; i++)
        {
            ret[0][i] = ret[0][i-1] + grid[0][i];
        }
        for(int i = 1; i < M; i++)
        {
            ret[i][0] = ret[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        for(int i = 1; i < M; i++)
        {
            for(int j = 1; j < N; j++)
            {
                ret[i][j] = min(ret[i-1][j],ret[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }

        return ret[M-1][N-1];
    }
};

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