python使用梯度下降和牛顿法寻找Rosenbrock函数最小值实例
Rosenbrock函数的定义如下:
其函数图像如下:
我分别使用梯度下降法和牛顿法做了寻找Rosenbrock函数的实验。
梯度下降
梯度下降的更新公式:
图中蓝色的点为起点,橙色的曲线(实际上是折线)是寻找最小值点的轨迹,终点(最小值点)为 (1,1)(1,1)。
梯度下降用了约5000次才找到最小值点。
我选择的迭代步长 α=0.002α=0.002,αα 没有办法取的太大,当为0.003时就会发生振荡:
牛顿法
牛顿法的更新公式:
Hessian矩阵中的每一个二阶偏导我是用手算算出来的。
牛顿法只迭代了约5次就找到了函数的最小值点。
下面贴出两个实验的代码。
梯度下降:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import ticker def f(x, y): return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2 def H(x, y): return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x], [-400 * x, 200]]) def grad(x, y): return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)], [200 * (y - x * x)]]) def delta_grad(x, y): g = grad(x, y) alpha = 0.002 delta = alpha * g return delta # ----- 绘制等高线 ----- # 数据数目 n = 256 # 定义x, y x = np.linspace(-1, 1.1, n) y = np.linspace(-0.1, 1.1, n) # 生成网格数据 X, Y = np.meshgrid(x, y) plt.figure() # 填充等高线的颜色, 8是等高线分为几部分 plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot) # 绘制等高线 C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors='black', linewidth=0.01) # 绘制等高线数据 plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10) # --------------------- x = np.matrix([[-0.2], [0.4]]) tol = 0.00001 xv = [x[0, 0]] yv = [x[1, 0]] plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker='o') for t in range(6000): delta = delta_grad(x[0, 0], x[1, 0]) if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol: break x = x - delta xv.append(x[0, 0]) yv.append(x[1, 0]) plt.plot(xv, yv, label='track') # plt.plot(xv, yv, label='track', marker='o') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Gradient for Rosenbrock Function') plt.legend() plt.show()
牛顿法:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import ticker def f(x, y): return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2 def H(x, y): return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x], [-400 * x, 200]]) def grad(x, y): return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)], [200 * (y - x * x)]]) def delta_newton(x, y): alpha = 1.0 delta = alpha * H(x, y).I * grad(x, y) return delta # ----- 绘制等高线 ----- # 数据数目 n = 256 # 定义x, y x = np.linspace(-1, 1.1, n) y = np.linspace(-1, 1.1, n) # 生成网格数据 X, Y = np.meshgrid(x, y) plt.figure() # 填充等高线的颜色, 8是等高线分为几部分 plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot) # 绘制等高线 C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors='black', linewidth=0.01) # 绘制等高线数据 plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10) # --------------------- x = np.matrix([[-0.3], [0.4]]) tol = 0.00001 xv = [x[0, 0]] yv = [x[1, 0]] plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker='o') for t in range(100): delta = delta_newton(x[0, 0], x[1, 0]) if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol: break x = x - delta xv.append(x[0, 0]) yv.append(x[1, 0]) plt.plot(xv, yv, label='track') # plt.plot(xv, yv, label='track', marker='o') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Newton\'s Method for Rosenbrock Function') plt.legend() plt.show()
以上这篇python使用梯度下降和牛顿法寻找Rosenbrock函数最小值实例就是小编分享给大家的全部内容了,希望能给大家一个参考,也希望大家多多支持我们。
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