java图论普利姆及克鲁斯卡算法解决最小生成树问题详解
目录
- 什么是最小生成树?
- 普利姆算法
- 算法介绍
- 应用 --> 修路问题
- 图解分析
- 克鲁斯卡尔算法
- 算法介绍
- 应用场景 -- 公交站问题
- 算法图解
- 算法分析
- 如何判断是否构成回路
什么是最小生成树?
最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST.
最小生成树要求图是连通图。连通图指图中任意两个顶点都有路径相通,通常指无向图。理论上如果图是有向、多重边的,也能求最小生成树,只是不太常见。
普利姆算法
算法介绍
应用 --> 修路问题
图解分析
假设从A村开始
1.从<A>顶点开始处理==============>> <A,G>
A - C[7] A - G[2] A - B[5]
2.<A,G>开始,将A和G顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理=> <A,G,B,E>
A - C[7] G - E[4] G - F[6] B - D[9]
3.<A,G,B>开始,将A,G,B顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 => <A,G,B,E>
A - C[7] G - E[4] G - F[6] B - D[9]
...........
4.<A,G,B,E> -> F//第4次大循环,对应边<E,F> 权值:5
5.<A,G,B,E,F> -> D//第5次大循环,对应边<F,D>权值:4
6.<A,G,B,E,F,D> -> C//第6次大循环,对应边<A,C>权值:7
public class PrimAlgorithm { public static void main(String[] args) { // 测试图是否创建成功 char[] data = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; int verxs = data.length; // 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数,表示两个点不连通 int[][] weight = new int[][] { { 10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2 }, { 5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3 }, { 7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000 }, { 10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000 }, { 10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4 }, { 10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6 }, { 2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000 }, }; // 创建MGraph对象 MGraph graph = new MGraph(verxs); // 创建一个MinTree对象 MinTree minTree = new MinTree(); minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight); // 输出 minTree.showGraph(graph); // 测试普利姆算法 minTree.prim(graph, 0); } } //创建最小生成树 -> 村庄的图 class MinTree { /** * 创建图的邻接矩阵 * * @param graph 图对象 * @param verxs 图对应的顶点个数 * @param data 图的各个顶点的值 * @param weight 图的邻接矩阵 */ public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) { int i, j; for (i = 0; i < verxs; i++) { graph.data[i] = data[i]; for (j = 0; j < verxs; j++) { graph.weight[i][j] = weight[i][j]; } } } /** * 显示图的邻接矩阵 */ public void showGraph(MGraph graph) { for (int[] link : graph.weight) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } /** * 编写prim算法,得到最小生成树 * * @param graph 图 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A' -> 0 'B' -> 1... */ public void prim(MGraph graph, int v) { // visited[] 标记节点(顶点)是否被访问过 int visited[] = new int[graph.verxs]; // visited[] 默认元素的值都是0,表示没有访问过 for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { visited[i] = 0; } // 把当前这个节点标记为已访问 visited[v] = 1; // h1 和 h2 记录两个顶点的下标 int h1 = -1; int h2 = -1; int minWeight = 10000;// 将minWeight初始成一个大数,后面在遍历过程中,会被替换 for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有graph,verxs顶点,普利姆算法结束后,有graph.verxs -1边 // 这个是确定每一次生成的子图,那个节点和这次遍历的节点距离最近 for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i节点表示被访问过的节点 for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// j节点表示还没有访问过的节点 if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) { // 替换minWeight(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边) minWeight = graph.weight[i][j]; h1 = i; h2 = j; } } } // 找到一条边最小 System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值:" + minWeight); // 将当前这个节点标记未已经访问 visited[h2] = 1; // minWeight 重新设置为最大值10000 minWeight = 10000; } } } class MGraph { int verxs; // 表示图的节点个数 char[] data; // 存放节点数据 int[][] weight; // 存放边,就是邻接矩阵 public MGraph(int verxs) { this.verxs = verxs; data = new char[verxs]; weight = new int[verxs][verxs]; } }
克鲁斯卡尔算法
算法介绍
应用场景 -- 公交站问题
算法图解
以上图G4为例,来对克鲁斯卡尔进行演示(假设,用数组R保存最小生成树结果)。
算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法,我们能够了解到,克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
问题一:对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二:将边添加到最小生成树中时,咋样判断是否形成了回路。
问题一很好解决,采用排序算法进行排序即可。
问题二,处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点,顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时,判断该边的两个顶点的终点是否重合,重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路
举例说明(如图)
代码实现
public class KruskalCase { private int edgeNum;// 边的个数 private char[] vertexs;// 顶点数组 private int[][] matrix;// 邻接矩阵 // 使用INF 表示两个顶点不能连通 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; public static void main(String[] args) { char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; // 克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 int matrix[][] = { /* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G */ /* A */{ 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */{ 12, 0, 0, INF, INF, 7, INF }, /* C */{ INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */{ INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF }, /* E */{ INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */{ 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 }, /* G */{ 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } }; // 创建KruskalCase 对象实例 KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix); // 输出构建的 kruskalCase.print(); kruskalCase.kruskal(); } // 构造器 public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { // 初始化顶点数和边的个数 int vlen = vertexs.length; // 初始化顶点,使用的是复制拷贝的方式 this.vertexs = new char[vlen]; for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { this.vertexs[i] = vertexs[i]; } // 初始化边,使用的是复制拷贝的方式 this.matrix = new int[vlen][vlen]; for (int i = 0; i < vlen; i++) { for (int j = 0; j < vlen; j++) { this.matrix[i][j] = matrix[i][j]; } } // 统计边的条数 for (int i = 0; i < vlen; i++) { for (int j = i + 1; i < vlen; j++) { if (this.matrix[i][j] != INF) { edgeNum++; } } } } public void kruskal() { int index = 0;// 表示最后结果数组的索引 int[] ends = new int[edgeNum];// 用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点 // 创建结果数组,保存最后的最小生成树 EData[] rets = new EData[edgeNum]; // 获取图中所有的边的集合,一共有12条边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + "共" + edges.length); //按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges数组,将边添加到最小生成树中时,判断准备加入的边是否形成了回路,如果没有,就加入rets,否则不能加入 for(int i = 0;i < edgeNum;i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //获取到第i条边的第2个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点 int m = getEnd(ends, p1); //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点 int n = getEnd(ends, p2); //是否构成回路 if(m != n) {//没有构成回路 ends[m] = n;//设置m在"已有最小生成树"中的终点<E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0] rets[index++] = edges[i];//有一条边加入到rets数组 } } //统计并打印"最小生成树",输出rets System.out.println("最小生成树为"); for(int i = 0;i < index;i++) { System.out.println(rets[i]); } } // 打印邻接矩阵 public void print() { System.out.println("邻接矩阵为:\n"); for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) { System.out.printf("%20d\t", matrix[i][j]); } System.out.println(); } } /** * 功能:对边进行排序处理,冒泡排序 * * @param edges 边的集合 */ private void sortEdges(EData[] edges) { for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {// 交换 EData tmp = edges[j]; edges[j] = edges[j + 1]; edges[j + 1] = tmp; } } } } /** * @param ch 顶点的值,比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标,如果找不到,返回-1 */ private int getPosition(char ch) { for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { if (vertexs[i] == ch) {// 找到 return i; } } // 找不到,返回-1 return -1; } /** * 功能:获取图中边,放到EData[]数组中,后面我们需要遍历该数组 是通过matrix邻接矩阵来获取 EData[] * 形式[['A','B',12],['B','F',7],...] * * @return */ private EData[] getEdges() { int index = 0; EData[] edges = new EData[edgeNum]; for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) { if (matrix[i][j] != INF) { edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * 功能:获取下标为i的顶点的棕垫终点(),用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * * @param ends 数组就是记录了各个顶点对应的终点是那个,ends数组是在遍历过程中,逐步形成 * @param i 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标 */ private int getEnd(int[] ends, int i) { while (ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; } } //创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边 class EData { char start;// 边的一个点 char end;// 边的另外一个点 int weight;// 边的权值 // 构造器 public EData(char start, char end, int weight) { this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } // 重写toString,便于输出边 @Override public String toString() { return "EData [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]"; } }
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