C/C++经典算法之约瑟夫问题详解

目录

• 什么是约瑟夫问题？
• 方法一：数组
• 方法二：环形链表
• 方法三：递归
• 总结

什么是约瑟夫问题？

约瑟夫问题：n个人围成一圈，初始编号从1~n排列，从约定编号为x的人开始报数，数到第m个人出圈，接着又从1开始报数，报到第m个数的人又退出圈，以此类推，最后圈内只剩下一个人，这个人就是赢家，求出赢家的编号。

是不是有点点复杂，其实该问题归结为模拟类型的算法题，根据题目要求模拟即可。

我说，一行代码解决约瑟夫问题！

？？？我去

别着急，我们一步一步学习

方法一：数组

在第一次遇到这个题的时候，我是用数组做的，我猜绝大多数人也都知道怎么做。方法是这样的：

用一个数组来存放 1，2，3 ... n 这 n 个编号，如图（这里我们假设n = 6, m = 3）

然后不停着遍历数组，对于被选中的编号，我们就做一个标记，例如编号 arr[2] = 3 被选中了，那么我们可以做一个标记，例如让 arr[2] = -1，来表示 arr[2] 存放的编号已经出局的了。

然后就按照这种方法，不停着遍历数组，不停着做标记，直到数组中只有一个元素是非 -1 的，这样，剩下的那个元素就是我们要找的元素了。我演示一下吧：

这种方法简单吗？思路简单，但是编码却没那么简单，临界条件特别多，每次遍历到数组最后一个元素的时候，还得重新设置下标为 0，并且遍历的时候还得判断该元素时候是否是 -1。用这种数组的方式做，千万不要觉得很简单，编码这个过程还是挺考验人的。

这种做法的时间复杂度是 O(n * m), 空间复杂度是 O(n);

下面给出数组方法的参考代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	int a[1001]={0}; //初始化化数组作为环
	int n,m;//n代表总的人数，m代表报数到几退出
	cin>>n>>m;
	int count=0;//记录退出的个数
	int k=-1;//这里假定开始为第一个人，下标为0，编号为1，如需从编号x开始，则k=x-2
	while(count<n-1){  //总共需要退出n-1个人
		int i=0;//记录当前报数编号
		while(i<m){
			k=(k+1)%n; //循环处理下标
			if(a[k]==0){
				i++;
				if(i==m){
					a[k]=-1;
					count++;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(a[i]==0){
			printf("%d\n",i+1);
			break;
		}
	}
	return 0;
}

方法二：环形链表

学过链表的人，估计都会用链表来处理约瑟夫环问题，用链表来处理其实和上面处理的思路差不多，只是用链表来处理的时候，对于被选中的编号，不再是做标记，而是直接移除，因为从链表移除一个元素的时间复杂度很低，为 O(1)。当然，上面数组的方法你也可以采用移除的方式，不过数组移除的时间复杂度为 O(n)。所以采用链表的解决方法如下：

1、先创建一个环形链表来存放元素：

2、然后一边遍历链表一遍删除，直到链表只剩下一个节点，我这里就不全部演示了

感兴趣的友友可以自己实现以下代码，这里就不放了

下面我们来看看，是如何一行代码实现约瑟夫问题！

方法三：递归

其实这道题还可以用递归来解决，递归是思路是每次我们删除了某一个人之后，我们就对这些人重新编号，然后我们的难点就是找出删除前和删除后编号的映射关系。

我们定义递归函数 f(n，m) 的返回结果是存活士兵的编号，显然当 n = 1 时，f(n, m) = 1。假如我们能够找出 f(n，m) 和 f(n-1，m) 之间的关系的话，我们就可以用递归的方式来解决了。我们假设人员数为 n, 报数到 m 的人就自杀。则刚开始的编号为

… 1 ... m - 2

m - 1

m

m + 1

m + 2 ... n …

进行了一次删除之后，删除了编号为 m 的节点。删除之后，就只剩下 n - 1 个节点了，删除前和删除之后的编号转换关系为：

删除前 --- 删除后

… --- …

m - 2 --- n - 2

m - 1 --- n - 1

m ---- 无(因为编号被删除了)

m + 1 --- 1(因为下次就从这里报数了)

m + 2 ---- 2

… ---- …

新的环中只有 n - 1 个节点。且删除前编号为 m + 1, m + 2, m + 3 的节点成了删除后编号为 1， 2， 3 的节点。

假设 old 为删除之前的节点编号， new 为删除了一个节点之后的编号，则 old 与 new 之间的关系为 old = (new + m - 1) % n + 1。

注：有些人可能会疑惑为什么不是 old = (new + m ) % n 呢？主要是因为编号是从 1 开始的，而不是从 0 开始的。如果 new + m == n的话，会导致最后的计算结果为 old = 0。所以 old = (new + m - 1) % n + 1. 这样，我们就得出 f(n, m) 与 f(n - 1, m)之间的关系了，而 f(1, m) = 1.所以我们可以采用递归的方式来做。

代码如下：

int f(int n, int m){
    return n == 1 ? n : (f(n - 1, m) + m - 1) % n + 1;
}

卧槽，以后有人让你手写约瑟夫问题，你就扔这一行代码给它。

总结

到此这篇关于C/C++经典算法之约瑟夫问题的文章就介绍到这了,更多相关C/C++约瑟夫问题内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！