一篇文章彻底弄懂Java中二叉树

目录

• 一、树形结构
• 1.1 相关概念
• 1.2树的表示形式
• 1.3树的应用：文件系统管理（目录和文件）
• 二、二叉树
• 2.1相关概念
• 2.2 二叉树的基本形态
• 2.3 两种特殊的二叉树
• 2.4 二叉树的性质
• 2.5 二叉树的存储
• 2.6 二叉树的基本操作
• 2.6.1二叉树的遍历
• 2.6.2 二叉树的基本操作
• 总结

一、树形结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点；
• 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；
• 树是递归定义的。

1.1 相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的度为6；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6；
• 叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点；
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点；
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

以下概念仅做了解即可：

• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点；
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

1.2树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。这里简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

孩子兄弟表示法代码示例：

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

图示：

1.3树的应用：文件系统管理（目录和文件）

二、二叉树

2.1相关概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。

二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 二叉树的基本形态

上图给出了几种特殊的二叉树形态。

从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右

子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

2.3 两种特殊的二叉树

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2k-1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。（另一种解释：如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。 ）要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

非完全二叉树：

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i-1 (i>0)个结点；
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2k-1 (k>=0)；
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1；
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 上取整；
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点；
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子；
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子；

如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中__500___个叶子节点，__500___个非叶子节点，__1___个节点只有左孩子，__0___个只有右孩子。

题解：将该二叉树节点缩小100倍，变为该完全二叉树中总共有10个节点，由性质2可得深度K为：4，前三层共有7个节点，则最后一层有10-7=3个节点，由性质1的第三层有4个节点，其中有2个节点上面有子节点，剩余2个为叶子结点，则该二叉树共有3+2=5个叶子结点，扩大100倍为500个叶子结点，则剩余的就位非叶子结点。有相关分析可知该二叉树有1个节点只有左孩子，0个节点只有右孩子。

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.6 二叉树的基本操作

2.6.1二叉树的遍历

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

• NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
• LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
• LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

如上面这张图,

其前序遍历：ABDEHCFG;

中序遍历：DBEHAFCG；

后序遍历：DHEBFGCA。

2.6.2 二叉树的基本操作

构建一颗二叉树：

代码示例：

class TreeNode{
    public char val;
    public TreeNode left;
    public TreeNode right;

    public TreeNode(char val){
        this.val = val;
    }
 }
public class BinaryTree {
	//创建一个二叉树
    public TreeNode createTree(){
        TreeNode A = new TreeNode('a');
        TreeNode B = new TreeNode('b');
        TreeNode C = new TreeNode('c');
        TreeNode D= new TreeNode('d');
        TreeNode E = new TreeNode('e');
        TreeNode F = new TreeNode('f');
        TreeNode G = new TreeNode('g');
        TreeNode H = new TreeNode('h');
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.right = H;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return A;
    }

1. 前序遍历

根–》左–》右

 void preOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
    }

测试代码：

 public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.preOrderTraversal(root);//前序遍历
        }

输出结果：

2. 中序遍历

左–》根–》右

 // 中序遍历
    void inOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        inOrderTraversal(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrderTraversal(root.right);
    }

测试代码：

public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
         binaryTree.inOrderTraversal(root);//中序遍历
        }

输出结果：

3. 后序遍历

左–》右–》根

// 后序遍历
    void postOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrderTraversal(root.left);
        postOrderTraversal(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

测试代码：

public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.postOrderTraversal(root);//后序遍历
        }

输出结果：

4. 遍历思路-求结点个数

 static int size = 0;//静态变量
    void getSize1(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        size++;
        getSize1(root.left);
        getSize1(root.right);
    }

5. 子问题思路-求结点个数

int getSize2(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        return  getSize2(root.left) + getSize2(root.right)+1;
    }

测试代码：

 public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.getSize1(root);
        System.out.println(BinaryTree.size);
        System.out.println("============");
        System.out.println(binaryTree.getSize2(root));
   }

输出结果：

6. 遍历思路-求叶子结点个数

//遍历这颗二叉树，只要节点的左子树和右子树都是空的，那么就是叶子
    static int leafSize = 0;
    void getLeafSize1(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            leafSize++;
        }
        getLeafSize1(root.left);
        getLeafSize1(root.right);
    }

7. 子问题思路-求叶子结点个数

//整棵树的叶子结点 = 左子树叶子 + 右子树叶子
    int getLeafSize2(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            return 1;
        }
        return  getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.getLeafSize1(root);
        System.out.println(BinaryTree.leafSize);//遍历思路-求叶子结点个数
        System.out.println("+++++++++++++");
        //binaryTree.getLeafSize2(root);
        //System.out.println(BinaryTree.leafSize);//子问题思路-求叶子结点个数
        System.out.println(binaryTree.getLeafSize2(root));
  }

输出结果：

8. 子问题思路-求第 k 层结点个数

// 子问题思路-求第 k 层结点个数
    int getKLevelSize(TreeNode root,int k){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(k == 1){
            return 1;
        }
   return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k - 1);
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
 		System.out.println(binaryTree.getKLevelSize(root,3));
 }

输出结果：

9. 获取二叉树的高度

int getHeight(TreeNode root){
        if(root == null){
            return  0;
        }
        int leftTree = getHeight(root.left);
        int rightTree = getHeight(root.right);
        return ((leftTree > rightTree) ? leftTree + 1 : rightTree + 1);
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
 		int hight = binaryTree.getHeight(root);
        System.out.println(hight);
 }

输出结果：

10. 查找val所在的节点

查找 val 所在结点，没有找到返回 null；

按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找；

一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找。

    TreeNode find(TreeNode root, char val){
        if(root == null){
            return null;
        }
        if(root.val == val){
            return root;
        }
       TreeNode ret = find(root.left,val);
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        ret = find(root.right,val );
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        return null;
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
 		//查找树中得指定val值
       TreeNode ret = binaryTree.find(root,'f');//如果没有找到则显示空指针异常
        System.out.println(ret.val);
 }

输出结果：

11.二叉树的层序遍历

 // 层序遍历
    void levelOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
           TreeNode top = queue.poll();
            System.out.print(top.val+" ");
            if(top.left != null){
                queue.offer(top.left);
            }
            if (top.right != null){
                queue.offer(top.right);
            }
        }
        System.out.println();
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
 		binaryTree.levelOrderTraversal(root);//层序遍历
 }

输出结果：

12.判断一棵树是不是完全二叉树

// 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(TreeNode root){
        if(root == null){
            return true;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
            TreeNode top = queue.poll();//弹出一个元素
            if(top != null){
                queue.offer(top.left);
                queue.offer(top.right);
            }else{
                break;
            }
        }
        while (!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.peek();
            if (cur == null){
                queue.poll();
            }else {
                //说明不是完全二叉树
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

测试代码：

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        //判断一棵树是不是完全二叉树
 		System.out.println(binaryTree.isCompleteTree(root));
 }

输出结果：

13.非递归实现前序遍历

 //非递归实现
    // 前序遍历
    void preOrderTraversalNor(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        TreeNode cur = root;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        while (cur != null || !stack.empty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                System.out.print(cur.val + " ");
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        }
    }

14.非递归实现中序遍历

 // 中序遍历
    void inOrderTraversalNor(TreeNode root){
        if (root == null) {
            return;
        }
        TreeNode cur = root;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        while (cur != null || !stack.empty()){
            while (cur != null){
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            System.out.print(top.val + " ");
            cur = top.right;
        }

    }

15.非递归实现后序遍历

// 后序遍历非递归
    void postOrderTraversalNor(TreeNode root){
        if (root == null) {
            return;
        }
        TreeNode cur = root;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode pre = null;//用来指定上一个被打印过的元素
        while (cur != null || !stack.empty()){
            while (cur != null){
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            cur = stack.peek();
            if(cur.right == null || cur.right == pre ){
                TreeNode popNode = stack.pop();
                System.out.print(popNode.val + " ");
                pre = cur;
                cur = null;
            }else {
                cur = cur.right;
            }
        }
    }

测试代码：

 public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
       // binaryTree.preOrderTraversal(root);//前序遍历
        //System.out.println();
        binaryTree.preOrderTraversalNor(root);//前序遍历非递归
        System.out.println();
        //binaryTree.postOrderTraversal(root);//后序遍历
        //System.out.println();
        binaryTree.postOrderTraversalNor(root);//后序遍历非递归
        System.out.println();
        //binaryTree.inOrderTraversal(root);//中序遍历
        //System.out.println();
        binaryTree.inOrderTraversalNor(root);//中序遍历非递归
        System.out.println();
}

输出结果：前、后、中

以上。

总结

到此这篇关于Java中二叉树的文章就介绍到这了,更多相关Java中二叉树内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！