数据结构之堆详解

1. 概述

堆（也叫优先队列），是一棵完全二叉树，它的特点是父节点的值大于（小于）两个子节点的值（分别称为大顶堆和小顶堆）。它常用于管理算法执行过程中的信息，应用场景包括堆排序，优先队列等。

2. 堆的基本操作

堆是一棵完全二叉树，高度为O（lg n），其基本操作至多与树的高度成正比。在介绍堆的基本操作之前，先介绍几个基本术语：

A：用于表示堆的数组，下标从1开始，一直到n
PARENT(t)：节点t的父节点，即floor(t/2)
RIGHT(t)：节点t的左孩子节点，即:2*t
LEFT(t)：节点t的右孩子节点，即:2*t+1
HEAP_SIZE(A)：堆A当前的元素数目
下面给出其主要的四个操作（以大顶堆为例）：
2.1 Heapify(A,n,t)
该操作主要用于维持堆的基本性质。假定以RIGHT(t)和LEFT(t)为根的子树都已经是堆，然后调整以t为根的子树，使之成为堆。

代码如下:

void Heapify(int A[], int n, int t)
 
{
 
  int left = LEFT(t);
 
  int right = RIGHT(t);
 
  int max = t;
 
  if(left <= n)     max = A[left] > A[max] ? left : max;
 
  if(right <= n)     max = A[right] > A[max] ? right : max;
 
  if(max != A[t])
 
  {
 
    swap(A, max, t);
 
    Heapify(A, n, max);
 
  }
 
}

2.2  BuildHeap(A,n)
该操作主要是将数组A转化成一个大顶堆。思想是，先找到堆的最后一个非叶子节点（即为第n/2个节点），然后从该节点开始，从后往前逐个调整每个子树，使之称为堆，最终整个数组便是一个堆。

代码如下:

void BuildHeap(int A[], int n)
 
{
 
  int i;
 
  for(i = n/2; i<=n; i++)
 
  Heapify(A, n, i);
 
}

2.3 GetMaximum(A,n)
该操作主要是获取堆中最大的元素，同时保持堆的基本性质。堆的最大元素即为第一个元素，将其保存下来，同时将最后一个元素放到A[1]位置，之后从上往下调整A，使之成为一个堆。

代码如下:

void GetMaximum(int A[], int n)
 
{
 
  int max = A[1];
 
  A[1] = A[n];
 
  n--;
 
  Heapify(A, n, 1);
 
  return max;
 
}

2.4  Insert(A, n, t)
向堆中添加一个元素t，同时保持堆的性质。算法思想是，将t放到A的最后，然后从该元素开始，自下向上调整，直至A成为一个大顶堆。

代码如下:

void Insert(int A[], int n, int t)
 
{
 
  n++;
 
  A[n] = t;
 
  int p = n;
 
  while(p >1 && A[PARENT(p)] < t)
 
  {
 
    A[p] = A[PARENT(p)];
 
    p = PARENT(p);
 
  }
 
  A[p] = t;
 
  return max;
 
}

3.  堆的应用

3.1  堆排序
堆的最常见应用是堆排序，时间复杂度为O(N lg N)。如果是从小到大排序，用大顶堆；从大到小排序，用小顶堆。

3.2  在O(n lg k)时间内，将k个排序表合并成一个排序表，n为所有有序表中元素个数。

【解析】取前100 万个整数，构造成了一棵数组方式存储的具有小顶堆，然后接着依次取下一个整数，如果它大于最小元素亦即堆顶元素，则将其赋予堆顶元素，然后用Heapify调整整个堆，如此下去，则最后留在堆中的100万个整数即为所求 100万个数字。该方法可大大节约内存。
3.3 一个文件中包含了1亿个随机整数，如何快速的找到最大(小)的100万个数字?（时间复杂度：O（n lg k））

4. 总结

堆是一种非常基础但很实用的数据结构，很多复杂算法或者数据结构的基础就是堆，因而，了解和掌握堆这种数据结构显得尤为重要。

5. 参考资料

（1）经典算法教程《算法导论》