python如何求解两数的最大公约数

题目:

给定两个自然数,求这两个数的最大公约数。

分析:

单看题目的话,非常简单,我们可以循环遍历自然数,如果能够整除两个自然数,就把这个数记下来,在这些记录中找到最大的一个。
但是这样做有几个缺点:一是做除法计算量比较大,二是遍历所有自然数完全没有必要。另外,如果能够循环,还是不要递归,因为Python的函数递归最大栈空间是1000(如果我没有记错的话),如果数字大一些,很容易出现爆栈。

所以在这里有两种处理方法:

1、如果较大的自然数除较小的一个自然数,取得余数,较小的自然数和余数的最大公约数就是我们要求的值。
2、如果较大的自然数减去较小的自然数,取得差值,较小的自然数和差值的最大公约数就是我们要求的值。

基于以上两条,我们就可以在根据定义得到的算法的基础上进行改进,但是!减法操作当然比取余要方便很多。而且在计算机里,做位运算的速度要比加减乘除都快,所以,我写了四个算法,具体描述在代码的 __doc__里有注释阐述

代码:

def greatest_common_divisor_1(self, num1, num2):
    '''
    数值计算寻找最大公约数,给定两个整数,计算其最大公约数,时间复杂度为 o(min(num1,num2)),取余运算复杂度高
    '''
    gbc = 1
    for i in xrange(2, min(num1, num2)+1):
      if num2 % i == 0 and num1 % i == 0:
        gbc = i
    return gbc

  def greatest_common_divisor_2(self, num1, num2):
    '''
    辗转相减法,时间复杂度最差为 o(min(num1,num2)),一般情况下都比这个要好。相减运算要比除法方便很多
    '''
    while num1 != num2:
      if num1 > num2:
        num1 = num1 - num2
      else:
        num2 = num2 - num1
    return num1

  def greatest_common_divisor_3(self, num1, num2):
    '''
    求余数法,取模运算比较麻烦,时间复杂度低 o(log max(num1, num2))
    '''
    while num1 != num2:
      if num1 > num2:
        if num1 % num2 == 0:
          return num2
        num1 = num1 % num2
      else:
        if num2 % num1 == 0:
          return num1
        num2 = num2 % num1
    return num1

  def greatest_common_divisor(self, num1, num2):
    '''
    求两个数的最大公约数
    综合取余法和辗转相减法,既能得到较好的时间复杂度,又能避免取余运算,时间复杂度稳定 o(log max(num1,num2))
    如果取两个非常大的数的话,前面的方法很容易爆栈、取余困难等等,但是该方法没有问题
    a = 999999342353200
    b = 777774234
    print greatest_common_divisor(a, b)
    '''
    factor = 1
    if num1 < num2:
      return greatest_common_divisor_1(num2, num1)
    while num1 != num2:
      if num1 & 1 is False and num2 & 1 is False: # 均为偶数
        num1 = num1 >> 1
        num2 = num2 >> 2
        factor *= 2
      elif num1 & 1 is False and num2 & 1 is True:
        num1 = num1 >> 1
      elif num1 & 1 is True and num2 & 1 is False:
        num2 = num2 >> 1
      else:
        if num1 > num2:
          num1 = num1 - num2
        else:
          num2 = num2 - num1
    return factor*num1

以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持我们。

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