算法学习入门之使用C语言实现各大基本的排序算法

首先来看一下排序算法的一些相关概念：
1、稳定排序和非稳定排序
简单地说就是所有相等的数经过某种排序方法后，仍能保持它们在排序之前的相对次序，我们就说这种排序方法是稳定的。反之，就是非稳定的。
比如：一组数排序前是a1,a2,a3,a4,a5，其中a2=a4，经过某种排序后为a1,a2,a4,a3,a5，则我们说这种排序是稳定的，因为a2排序前在a4的前面，排序后它还是在a4的前面。假如变成a1,a4,a2,a3,a5就不是稳定的了。

2、内排序和外排序
在排序过程中，所有需要排序的数都在内存，并在内存中调整它们的存储顺序，称为内排序；
在排序过程中，只有部分数被调入内存，并借助内存调整数在外存中的存放顺序排序方法称为外排序。

3、算法的时间复杂度和空间复杂度
所谓算法的时间复杂度，是指执行算法所需要的计算工作量。
一个算法的空间复杂度，一般是指执行这个算法所需要的内存空间。

接下来我们实际来看几大排序算法的具体C语言实现：

冒泡排序 (Bubble Sort)

如果序列是从小到大排列好的，那么任意两个相邻元素，都应该满足a[i-1] <= a[i]的关系。在冒泡排序时，我们从右向左遍历数组，比较相邻的两个元素。如果两个元素的顺序是错的，那么就交换这两个元素。如果两个元素的顺序是正确的，则不做交换。经过一次遍历，我们可以保证最小的元素(泡泡)处于最左边的位置。

经过一次遍历，冒泡排序并不能保证所有的元素已经按照从小到大的排列好。因此，我们需要重新从右向左遍历数组元素，并进行冒泡排序。这一次遍历，我们不用考虑最左端的元素。然后继续进行最多为n-1次的遍历。

如果某次遍历过程中，元素都没有发生交换，那么说明数组已经排序好，可以中止停止排序。最坏的情况是在起始数组中，最大的元素位于最左边，那么冒泡算法必须经过n-1次遍历才能将数组排列好，而不能提前完成排序。

/*By Vamei*/
/*swap the neighbors if out of order*/
void bubble_sort(int a[], int ac)
{
  /*use swap*/
  int i,j;
  int sign;
  for (j = 0; j < ac-1; j++) {
    sign = 0;
    for(i = ac-1; i > j; i--)
    {
      if(a[i-1] > a[i]) {
        sign = 1;
        swap(a+i, a+i-1);
      }
    }
    if (sign == 0) break;
  }
}

插入排序 (Insertion Sort)

假设在新生报到的时候，我们将新生按照身高排好队(也就是排序)。如果这时有一名学生加入，我们将该名学生加入到队尾。如果这名学生比前面的学生低，那么就让该学生和前面的学生交换位置。这名学生最终会换到应在的位置。这就是插入排序的基本原理。

对于起始数组来说，我们认为最初，有一名学生，也就是最左边的元素(i=0)，构成一个有序的队伍。

随后有第二个学生(i=1)加入队伍，第二名学生交换到应在的位置；随后第三个学生加入队伍，第三名学生交换到应在的位置…… 当n个学生都加入队伍时，我们的排序就完成了。

/*By Vamei*/
/*insert the next element
 into the sorted part*/
void insert_sort(int a[], int ac)
{
  /*use swap*/
  int i,j;
  for (j=1; j < ac; j++)
  {
    i = j-1;
    while((i>=0) && (a[i+1] < a[i]))
    {
      swap(a+i+1, a+i);
      i--;
    }
  }
}

选择排序 (Selection Sort)

排序的最终结果：任何一个元素都不大于位于它右边的元素 (a[i] <= a[j], if i <= j)。所以，在有序序列中，最小的元素排在最左的位置，第二小的元素排在i=1的位置…… 最大的元素排在最后。

选择排序是先找到起始数组中最小的元素，将它交换到i=0；然后寻找剩下元素中最小的元素，将它交换到i=1的位置…… 直到找到第二大的元素，将它交换到n-2的位置。这时，整个数组的排序完成。

/*By Vamei*/
/*find the smallest of the rest,
 then append to the sorted part*/
void select_sort(int a[], int ac)
{
  /*use swap*/
  int i,j;
  int min_idx;
  for (j = 0; j < ac-1; j++)
  {
    min_idx = j;
    for (i = j+1; i < ac; i++)
    {
      if (a[i] < a[min_idx])
      {
        min_idx = i;
      }
    }
    swap(a+j, a+min_idx);
  }
}

希尔排序 （Shell Sort）

我们在冒泡排序中提到，最坏的情况发生在大的元素位于数组的起始。这些位于数组起始的大元素需要多次遍历，才能交换到队尾。这样的元素被称为乌龟(turtle)。

乌龟元素的原因在于，冒泡排序总是相邻的两个元素比较并交换。所以每次从右向左遍历，大元素只能向右移动一位。(小的元素位于队尾，被称为兔子(rabbit)元素，它们可以很快的交换到队首。)

希尔排序是以更大的间隔来比较和交换元素，这样，大的元素在交换的时候，可以向右移动不止一个位置，从而更快的移动乌龟元素。比如，可以将数组分为4个子数组（i=4k, i=4k+1, i=4k+2, i=4k+3），对每个子数组进行冒泡排序。比如子数组i=0，4，8，12...。此时，每次交换的间隔为4。

完成对四个子数组的排序后，数组的顺序并不一定能排列好。希尔排序会不断减小间隔，重新形成子数组，并对子数组冒泡排序…… 当间隔减小为1时，就相当于对整个数组进行了一次冒泡排序。随后，数组的顺序就排列好了。

希尔排序不止可以配合冒泡排序，还可以配合其他的排序方法完成。

/*By Vamei*/
/*quickly sort the turtles at the tail of the array*/
void shell_sort(int a[], int ac)
{
  int step;
  int i,j;
  int nsub;
  int *sub;

  /* initialize step */
  step = 1;
  while(step < ac) step = 3*step + 1;

  /* when step becomes 1, it's equivalent to the bubble sort*/
  while(step > 1) {
    /* step will go down to 1 at most */
    step = step/3 + 1;
    for(i=0; i<step; i++) {
      /* pick an element every step,
       and combine into a sub-array */
      nsub = (ac - i - 1)/step + 1;
      sub = (int *) malloc(sizeof(int)*nsub);
      for(j=0; j<nsub; j++) {
        sub[j] = a[i+j*step];
      }
      /* sort the sub-array by bubble sorting.
       It could be other sorting methods */
      bubble_sort(sub, nsub);
      /* put back the sub-array*/
      for(j=0; j<nsub; j++) {
        a[i+j*step] = sub[j];
      }
      /* free sub-array */
      free(sub);
    }
  }
}

Shell Sorting依赖于间隔(step)的选取。一个常见的选择是将本次间隔设置为上次间隔的1/1.3。见参考书籍。

归并排序 (Merge Sort)

如果我们要将一副扑克按照数字大小排序。此前已经有两个人分别将其中的一半排好顺序。那么我们可以将这两堆扑克向上放好，假设小的牌在上面。此时，我们将看到牌堆中最上的两张牌。

我们取两张牌中小的那张取出放在手中。两个牌堆中又是两张牌暴露在最上面，继续取小的那张放在手中…… 直到所有的牌都放入手中，那么整副牌就排好顺序了。这就是归并排序。

下面的实现中，使用递归：

/*By Vamei*/
/*recursively merge two sorted arrays*/
void merge_sort(int *a, int ac)
{
  int i, j, k;
  int ac1, ac2;
  int *ah1, *ah2;
  int *container;

  /*base case*/
  if (ac <= 1) return;

  /*split the array into two*/
  ac1 = ac/2;
  ac2 = ac - ac1;
  ah1 = a + 0;
  ah2 = a + ac1;

  /*recursion*/
  merge_sort(ah1, ac1);
  merge_sort(ah2, ac2);

  /*merge*/
  i = 0;
  j = 0;
  k = 0;
  container = (int *) malloc(sizeof(int)*ac);
  while(i<ac1 && j<ac2) {
    if (ah1[i] <= ah2[j]) {
      container[k++] = ah1[i++];
    }
    else {
      container[k++] = ah2[j++];
    }
  }
  while (i < ac1) {
    container[k++] = ah1[i++];
  }
  while (j < ac2) {
    container[k++] = ah2[j++];
  }

  /*copy back the sorted array*/
  for(i=0; i<ac; i++) {
    a[i] = container[i];
  }
  /*free space*/
  free(container);
}

快速排序 (Quick Sort)

我们依然考虑按照身高给学生排序。在快速排序中，我们随便挑出一个学生，以该学生的身高为参考(pivot)。然后让比该学生低的站在该学生的右边，剩下的站在该学生的左边。

很明显，所有的学生被分成了两组。该学生右边的学生的身高都大于该学生左边的学生的身高。

我们继续，在低身高学生组随便挑出一个学生，将低身高组的学生分为两组(很低和不那么低)。同样，将高学生组也分为两组(不那么高和很高)。

如此继续细分，直到分组中只有一个学生。当所有的分组中都只有一个学生时，则排序完成。

在下面的实现中，使用递归:

/*By Vamei*/
/*select pivot, put elements (<= pivot) to the left*/
void quick_sort(int a[], int ac)
{
  /*use swap*/

  /* pivot is a position,
    all the elements before pivot is smaller or equal to pvalue */
  int pivot;
  /* the position of the element to be tested against pivot */
  int sample;

  /* select a pvalue.
    Median is supposed to be a good choice, but that will itself take time.
    here, the pvalue is selected in a very simple wayi: a[ac/2] */
  /* store pvalue at a[0] */
  swap(a+0, a+ac/2);
  pivot = 1; 

  /* test each element */
  for (sample=1; sample<ac; sample++) {
    if (a[sample] < a[0]) {
      swap(a+pivot, a+sample);
      pivot++;
    }
  }
  /* swap an element (which <= pvalue) with a[0] */
  swap(a+0,a+pivot-1);

  /* base case, if only two elements are in the array,
    the above pass has already sorted the array */
  if (ac<=2) return;
  else {
    /* recursion */
    quick_sort(a, pivot);
    quick_sort(a+pivot, ac-pivot);
  }
}

理想的pivot是采用分组元素中的中位数。然而寻找中位数的算法需要另行实现。也可以随机选取元素作为pivot，随机选取也需要另行实现。为了简便，我每次都采用中间位置的元素作为pivot。

堆排序 (Heap Sort)

堆(heap)是常见的数据结构。它是一个有优先级的队列。最常见的堆的实现是一个有限定操作的Complete Binary Tree。这个Complete Binary Tree保持堆的特性，也就是父节点(parent)大于子节点(children)。因此，堆的根节点是所有堆元素中最小的。堆定义有插入节点和删除根节点操作，这两个操作都保持堆的特性。

我们可以将无序数组构成一个堆，然后不断取出根节点，最终构成一个有序数组。

堆的更详细描述请阅读参考书目。

下面是堆的数据结构，以及插入节点和删除根节点操作。你可以很方便的构建堆，并取出根节点，构成有序数组。

/* By Vamei
  Use an big array to implement heap
  DECLARE: int heap[MAXSIZE] in calling function
  heap[0] : total nodes in the heap
  for a node i, its children are i*2 and i*2+1 (if exists)
  its parent is i/2 */

void insert(int new, int heap[])
{
  int childIdx, parentIdx;
  heap[0] = heap[0] + 1;
  heap[heap[0]] = new;

  /* recover heap property */
  percolate_up(heap);
}

static void percolate_up(int heap[]) {
  int lightIdx, parentIdx;
  lightIdx = heap[0];
  parentIdx = lightIdx/2;
  /* lightIdx is root? && swap? */
  while((parentIdx > 0) && (heap[lightIdx] < heap[parentIdx])) {
    /* swap */
    swap(heap + lightIdx, heap + parentIdx);
    lightIdx = parentIdx;
    parentIdx = lightIdx/2;
  }
}

int delete_min(int heap[])
{
  int min;
  if (heap[0] < 1) {
    /* delete element from an empty heap */
    printf("Error: delete_min from an empty heap.");
    exit(1);
  }

  /* delete root
    move the last leaf to the root */
  min = heap[1];
  swap(heap + 1, heap + heap[0]);
  heap[0] -= 1;

  /* recover heap property */
  percolate_down(heap);

  return min;
}

static void percolate_down(int heap[]) {
  int heavyIdx;
  int childIdx1, childIdx2, minIdx;
  int sign; /* state variable, 1: swap; 0: no swap */

  heavyIdx = 1;
  do {
    sign   = 0;
    childIdx1 = heavyIdx*2;
    childIdx2 = childIdx1 + 1;
    if (childIdx1 > heap[0]) {
      /* both children are null */
      break;
    }
    else if (childIdx2 > heap[0]) {
      /* right children is null */
      minIdx = childIdx1;
    }
    else {
      minIdx = (heap[childIdx1] < heap[childIdx2]) ?
             childIdx1 : childIdx2;
    }

    if (heap[heavyIdx] > heap[minIdx]) {
      /* swap with child */
      swap(heap + heavyIdx, heap + minIdx);
      heavyIdx = minIdx;
      sign = 1;
    }
  } while(sign == 1);
}

总结

除了上面的算法，还有诸如Bucket Sorting, Radix Sorting涉及。我会在未来实现了相关算法之后，补充到这篇文章中。相关算法的时间复杂度分析可以参考书目中找到。我自己也做了粗糙的分析。如果博客 园能支持数学公式的显示，我就把自己的分析过程贴出来，用于引玉。

上面的各个代码是我自己写的，只进行了很简单的测试。如果有错漏，先谢谢你的指正。

最后，上文中用到的交换函数为：

/* By Vamei */
/* exchange the values pointed by pa and pb*/
void swap(int *pa, int *pb)
{
  int tmp;
  tmp = *pa;
  *pa = *pb;
  *pb = tmp;
}

几种排序算法的比较和选择
1. 选取排序方法需要考虑的因素：
       (1) 待排序的元素数目n；
       (2) 元素本身信息量的大小；
       (3) 关键字的结构及其分布情况；
       (4) 语言工具的条件，辅助空间的大小等。

2. 一些建议：
   (1) 若n较小(n <= 50)，则可以采用直接插入排序或直接选择排序。由于直接插入排序所需的记录移动操作较直接选择排序多，因而当记录本身信息量较大时，用直接选择排序较好。
   (2) 若文件的初始状态已按关键字基本有序，则选用直接插入或冒泡排序为宜。
   (3) 若n较大，则应采用时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序。快速排序是目前基于比较的内部排序法中被认为是最好的方法。
   (4) 在基于比较排序方法中，每次比较两个关键字的大小之后，仅仅出现两种可能的转移，因此可以用一棵二叉树来描述比较判定过程，由此可以证明：当文件的n个关键字随机分布时，任何借助于"比较"的排序算法，至少需要O(nlog2n)的时间。
   (5) 当记录本身信息量较大时，为避免耗费大量时间移动记录，可以用链表作为存储结构。