C语言 推理证明带环链表详细过程
目录
- 什么是带环链表:
- 判断链表是否带环:
- 环形链表 I
- 找带环形链表入环的第一个结点:
- 环形链表 II
什么是带环链表:
带环链表是链表最后一个结点的指针域不是指向空指针,而是指向链表之前的结点,这样就形成了环状的链表结构。
如图所示:
判断链表是否带环:
那么问题来了,如何判断一个链表是否带环呢?
这里我们再次运用了快慢指针,但是快慢指针又该如何具体设置呢?
- 判断思路:
先定义一个快指针fast,一个慢指针slow。
快指针一定是比慢指针先进环的,当slow进环时,fast指针便开始了追slow指针,当快指针和慢指针相遇的时候,快指针便追上了慢指针,此时就可以判断该链表是有环的,但凡快指针指向空就说明该链表是不带环的。
- 那么快慢指针一次各走几步最合适呢?
假设slow刚进环时,fast与slow之间的距离为N,环的长度为C。
- 这里我们要多组讨论一下:(先讨论有代表的两组)
1.slow一次走1步,fast一次走2步一定能追上吗?
2.slow一次走1步,fast一次走3步一定能追上吗?
…………………
图为当slow刚进环时,假设fast所在的位置:
1.slow一次走1步,fast一次走2步一定能追上吗?
每次追击,fast与slow之间的距离就缩小1,当距离N缩小为0的时候,便追上了。
N - 1,N - 2,N - 3,……,0
所以这种情况一定能追上。
2.slow一次走1步,fast一次走3步一定能追上吗?
每次追击,fast与slow之间的距离就缩小2,这里要对N进行讨论:
(1)当N为偶数时,N每次缩小2,当距离N缩小为0的时候,便追上了。
N - 2,N - 4,N - 6,……,0
(2)当N为奇数时,N每次缩小2,当距离N缩小为1的时候,下次追击二者距离扔缩小2,此时 fast就会超过slow,距离N变为 -1 ,也就是C - 1,这时又要对C - 1进行讨论。
- 当C - 1为偶数时就能追上。
- 当C - 1为奇数时就扔会错过,N再次变成C - 1,那么就会永远错过也就永远追不上。
所以这种情况不一定能追上,有可能永远追不上。
3.slow一次走1步,fast一次走4步一定能追上吗?
每次追击,fast与slow之间的距离就缩小3,这里又要对N进行讨论:
(1)当N为3的倍数时,N每次缩小3,当距离N缩小为0的时候,便追上了。
N - 3,N - 6,N - 9,……,0
(2)当N不为3的倍数时,那么fast会与slow错过,至于错过时fast超过slow多少距离还需讨论 (超过的距离取决于一开始N的长度)。
- 当追上后,fast超过slow距离为1时,此时fast追slow追击距离为N即(C - 1),此时又要对C - 1进行上述讨论,即C - 1是否为3的倍数的讨论。
- 当追上后,fast超过slow距离为2时,此时fast追slow追击距离为N即(C - 2),此时又要对C - 2进行上述讨论,即C - 2是否为3的倍数的讨论。
所以这种情况只有当N为3的倍数的时候才能追得上。
综上:能不能追得上取决于两个指针之间的距离N和环的大小C。
下面提供一个结论个人小结:(仅供参考,可能存在局限性)
只要快慢指针的速度差是2的时候,就可能会出现永远追不上的问题。假设fast与slow的速度差为x,那么fast追赶slow一次,他们之间的距离就减少x,途中有可能刚好追上,也有可能错过。当错过的时候,fast在slow前面,这时fast超过slow的距离的取值只可能是在[1 ~ (x - 1)]之间(x取整数)。同时任意一个正整数,假设记作m,(m > x)当m整除一个整数x有余数时,对这个整数m减去[1 ~ (x - 1)]中任意一个值,总能找到一个值x,使得m - x的值能够整除x。所以无论环的长度为多长,假设环的长度为C,总有C减去[1 ~ (x - 1)]中任意一个值,使得C - x能够整除x并且没余数,既然没余数那就是刚好追上的情况。
当fast和slow的速度差为2时,即x = 2的时候,C - x,x属于[1 ~ (x - 1)],那么C - x就只能是C - 1,那么当C - 1去整除2的时候,如果C - 1为奇数,那么C - 1整除2必然有余数,并且余数为1,下次还是C - 1去整除2,还是会余1,所以这时fast就永远追不上slow。
总结:
设置fast一次走2步,slow一次走1步的时候最保险。 因为快慢指针相距N,每追击一次N就减1,总会减到0,N缩小到0就是追到了。
环形链表 I
环形链表
给你一个链表的头节点 head ,判断链表中是否有环。
如果链表中有某个节点,可以通过连续跟踪 next 指针再次到达,则链表中存在环。 为了表示给定链表中的环,评测系统内部使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置(索引从 0 开始)。注意:pos 不作为参数进行传递 。仅仅是为了标识链表的实际情况。
如果链表中存在环 ,则返回 true 。 否则,返回 false 。
示例 1:
输入:
head = [3,2,0,-4], pos = 1
输出:
true
解释:链表中有一个环,其尾部连接到第二个节点。
示例 2:
输入:
head = [1,2], pos = 0
输出:
true
解释:链表中有一个环,其尾部连接到第一个节点。
示例 3:
输入:
head = [1], pos = -1
输出:
false
解释:链表中没有环。
/** * Definition for singly-linked list. * struct ListNode { * int val; * struct ListNode *next; * }; */ bool hasCycle(struct ListNode *head) { struct ListNode* fast, *slow; fast = slow = head; while(fast && fast->next) { fast = fast->next->next; slow = slow->next; if(slow == fast) return true; } return false; }
思路:
运用上述判断环形链表的结论,fast一次走2步,slow每次走1步,只要是环状就一定会追的到。
找带环形链表入环的第一个结点:
接下来更深层次的问题来了,带环链表环的入口该怎么找呢?
以后带环问题通常都用fast一次走2步,slow一次走1步。
当快指针追到慢指针时,假设相遇点为meet,slow指针和fast指针在如图所示的:
注意:
这里快指针一定是先进环,slow后进环。
slow指针进环后,在走一圈的时间内,一定是会被fast追上的 。
思路:
在是slow指针和fast指针,同时从head头开始走,直到在meet点相遇,又因为fast指针的速度为slow指针速度的二倍,那么就一定满足一个等式关系:
快指针走的距离 = 慢指针走的距离 * 2
还需讨论的是当slow进环时,fast在环内走了多久的问题:
- 当L足够长而C很小时:slow进环时fast可能已经在环内走了好多圈了(假设为n圈)。
- 当L很小而C足够大时:slow进环时fast可能在环内 连一圈还没走。
综合考虑之后再结合上述等式关系变得到下列等式:
L + nC + X = 2 * (L+ X)
化简得:
L = n * C - X
这个公式充分说明了,一个指针从head走,一个指针从相遇点meet走,并且每次都走一步,一 直走下去,它们最终会在环的入口点相遇!!!
环形链表 II
环形链表 II
给定一个链表的头节点 head ,返回链表开始入环的第一个节点。 如果链表无环,则返回 null。
如果链表中有某个节点,可以通过连续跟踪 next 指针再次到达,则链表中存在环。 为了表示给定链表中的环,评测系统内部使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置(索引从 0 开始)。如果 pos 是 -1,则在该链表中没有环。注意:pos 不作为参数进行传递,仅仅是为了标识链表的实际情况。不允许修改 链表。
示例 1:
输入:
head = [3,2,0,-4], pos = 1
输出:
返回索引为 1 的链表节点
解释:链表中有一个环,其尾部连接到第二个节点。 示例 2:
输入:
head = [1,2], pos = 0
输出:
返回索引为 0 的链表节点
解释:链表中有一个环,其尾部连接到第一个节点。
示例 3:
输入:
head = [1], pos = -1
输出:
返回 null
解释:链表中没有环。
/** * Definition for singly-linked list. * struct ListNode { * int val; * struct ListNode *next; * }; */ struct ListNode *detectCycle(struct ListNode *head) { struct ListNode* fast, *slow; slow = fast = head; while(fast && fast->next) { fast = fast->next->next; slow = slow->next; if(slow == fast) { struct ListNode* meet = slow; while(head != meet) { meet = meet->next; head = head->next; } return meet; } } return NULL; }
思路1:
先运用上述判断环形链表的结论找到相遇点,再运用上述找环形入口点的结论,就能轻松找到环的入口点。
思路2:
先运用上述判断环形链表的结论找到相遇点,再将相遇点断开,这时就变成了上一篇博客找相交链表公共结点的问题,示意图如下:
参考代码如下:
/** * Definition for singly-linked list. * struct ListNode { * int val; * struct ListNode *next; * }; */ struct ListNode *detectCycle(struct ListNode *head) { struct ListNode* fast, *slow; slow = fast = head; int len1 = 0,len2 = 0; while(fast && fast->next) { fast = fast->next->next; slow = slow->next; if(slow == fast) { struct ListNode* shortList, *longList, *meet, *longTail, *shortTail; longList = longTail = head; meet = shortList = shortTail = slow->next; slow->next = NULL; while(shortTail) { shortTail = shortTail->next; len1++; } while(longTail) { longTail = longTail->next; len2++; } int gap = abs(len1 - len2); if(len1 > len2) { longList = meet; shortList = head; } while(gap--) { longList = longList->next; } while(shortList != longList) { longList = longList->next; shortList = shortList->next; } return longList; } } return NULL; }
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