Python实现最短路径问题的方法

目录

• 一、创建图
• 二、问题来源
• 三、Dijkstra算法
• 四、Floyd算法
• 五、代码测试

一、创建图

在开始之前，我们先创建一个图，使用邻接矩阵表示有向网：

class Graph(object):
    """
    以邻接矩阵为存储结构创建有向网
    """
    def __init__(self, kind):
        # 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
        # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
        self.kind = kind
        # 顶点表
        self.vertexs = []
        # 边表, 即邻接矩阵, 是个二维的
        self.arcs = []
        # 当前顶点数
        self.vexnum = 0
        # 当前边(弧)数
        self.arcnum = 0

    def CreateGraph(self, vertex_list, edge_list):
        """
        创建图
        :param vertex_list: 顶点列表
        :param edge_list: 边列表
        :return:
        """
        self.vexnum = len(vertex_list)
        self.arcnum = len(edge_list)
        for vertex in vertex_list:
            vertex = Vertex(vertex)
            # 顶点列表
            self.vertexs.append(vertex)
            # 邻接矩阵, 初始化为无穷
            self.arcs.append([float('inf')] * self.vexnum)
        for edge in edge_list:
            ivertex = self.LocateVertex(edge[0])
            jvertex = self.LocateVertex(edge[1])
            weight = edge[2]
            self.InsertArc(ivertex, jvertex, weight)

    def LocateVertex(self, vertex):
        """
        定位顶点在邻接表中的位置
        :param vertex:
        :return:
        """
        index = 0
        while index < self.vexnum:
            if self.vertexs[index].data == vertex:
                return index
            else:
                index += 1

    def InsertArc(self, ivertex, jvertex, weight):
        """
        创建邻接矩阵
        :param ivertex:
        :param jvertex:
        :param weight:
        :return:
        """
        if self.kind == 'Dinetwork':
            self.arcs[ivertex][jvertex] = weight

  有关邻接矩阵中顶点结点Vertex()的定义可以参考这篇博客，这里就不在贴出相应的代码了。

二、问题来源

假如我从城市 A A A出发坐火车去其他城市旅游，那么如何规划路线使所花费的车票钱最少呢？若将上述图中的城市看成有向网中的顶点，并将两城市之间所需要的车票钱看做对应弧的权值，那么这一问题的本质就是求两个顶点之间权值最小的路径，简称最短路径 ( S h o r t e s t (Shortest (Shortest P a t h ) Path) Path)。

三、Dijkstra算法

D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法，中文名叫迪杰斯特拉算法，它常用于求解源点到其余顶点的最短路径。

假设 G = { V , { A } } G=\{V, \{A\}\} G={V,{A}}是含有 n n n个顶点的有向网，以该图中的顶点 v v v为源点，使用 D i j k s t r a

Dijkstra Dijkstra算法求顶点 v v v到图中其余各顶点的最短路径的基本思路如下：
(1) 使用集合 S S S记录已求得最短路径的终点，初始时 S = { v } S=\{v\} S={v}；
(2) 选择一条长度最短的路径，该路径的终点 w ∈ V − S w\in V-S w∈V−S，将 w w w并入 S S S，并将该最短路径的长度记为 D w D_w Dw​；
(3) 对于 V − S V-S V−S中任一顶点 s s s，将源点到顶点 s s s的最短路径长度记为 D s D_s Ds​，并将顶点 w w w到顶点 s s s的弧的权值记为 D w s D_{ws} Dws​，若 D w + D w s < D s D_w+D_{ws}<D_s Dw​+Dws​<Ds​，则将源点到顶点 s s s的最短路径的长度修改为 D w + D w s D_w+D_{ws} Dw​+Dws​；
(4) 重复执行上述操作，直到 S = V S=V S=V。

D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法有些 P r i m Prim Prim算法的影子，这里使用一个辅助列表Dist，用来存储源点到每一个终点的最短路径长度，列表Path来存储每一条最短路径中倒数第二个顶点的下标(弧尾下标)，除此之外还需要一个列表flag来记录顶点是否已求得最短路径。下面结合着 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法来分析一下上面的那个有向网：

(1) 这里要做的就是更新列表Dist和列表Path，假如以顶点 A A A为起始点，先将它加入 S S S中，然后寻找以顶点 A A A为弧尾的最短路径，这里找到了顶点 B B B，然后继续找下一个顶点。这个时候就要做一个判断了，即 D w + D w s < D s D_w+D_{ws}<D_s Dw​+Dws​<Ds​是否成立，这里的顶点 s s s有两种选择，要么是顶点 C C C，要么是顶点 D D D，因为这两个顶点都是以顶点 w w w(即顶点 B B B)为弧尾，按照顺序，这个时候先选择了顶点 C C C，经判断： D A B + D B C < D A C D_{AB}+D_{BC}<D_{AC} DAB​+DBC​<DAC​(即 4 + 3 = 7 < 8 4+3=7<8 4+3=7<8)成立，然后更新源点到顶点 s s s(即顶点 C C C)的距离为7。这个时候顶点 s s s又选择了顶点 D D D，经判断： D A B + D B D < D A D D_{AB}+D_{BD}<D_{AD} DAB​+DBD​<DAD​(即 4 + 8 = 12 < ∞ 4+8=12<\infty 4+8=12<∞)成立，然后更新源点到顶点 s s s(即顶点 D D D)的距离为12。

(2) 然后寻找以顶点 C C C为弧尾的最短路径，这里找到了顶点 E E E，然后做一个路径长度判断，经判断： D A C + D C E < D A E D_{AC}+D_{CE}<D_{AE} DAC​+DCE​<DAE​(即 7 + 1 = 8 < ∞ 7+1=8<\infty 7+1=8<∞)成立，然后更新源点到顶点 s s s(即顶点 E E E)的距离为8，然后又找到了顶点 F F F，然后做一个路径长度判断，经判断： D A C + D C F < D A F D_{AC}+D_{CF}<D_{AF} DAC​+DCF​<DAF​(即 7 + 6 = 13 < ∞ 7+6=13<\infty 7+6=13<∞)成立，然后更新源点到顶点 s s s(即顶点 F F F)的距离为13。

(3) 直至计算出所有源点到其余顶点的距离。

D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法代码实现如下：

 def Dijkstra(self, Vertex):
        """
        Dijkstra算法, 计算源点Vertex到其余各顶点的最短距离
        :param Vertex:
        :return:
        """
        # 源点到每一个终点的最短路径长度
        Dist = []
        # 每一条最短路径中倒数第二个顶点的下标(弧尾下标)
        Path = []
        # 记录顶点是否已求得最短路径
        flag = [False] * self.vexnum

        index = 0
        while index < self.vexnum:
            Dist.append(self.arcs[Vertex][index])
            if self.arcs[Vertex][index] < float('inf'):
                # 存放弧尾下标
                Path.append(Vertex)
            else:
                Path.append(-1)
            index += 1

        # 以顶点Vertex为源点
        Dist[Vertex] = 0
        Path[Vertex] = 0
        flag[Vertex] = True

        index = 1
        while index < self.vexnum:
            minDist = float('inf')
            # 寻找源点到下一个顶点wVertex的最短路径
            for i in range(self.vexnum):
                if not flag[i] and Dist[i] < minDist:
                    wVertex = i
                    minDist = Dist[i]
            flag[wVertex] = True
            sVertex = 0
            minDist = float('inf')
            # 更新源点到终点sVertex的最短路径
            while sVertex < self.vexnum:
                if not flag[sVertex]:
                    if self.arcs[wVertex][sVertex] < minDist and \
                            Dist[wVertex] + self.arcs[wVertex][sVertex] < Dist[sVertex]:
                        # 距离更新
                        Dist[sVertex] = Dist[wVertex] + self.arcs[wVertex][sVertex]
                        Path[sVertex] = wVertex
                sVertex += 1
            index += 1
        # 输出信息
        self.ShortestPathDijkstra(Vertex, Dist, Path)

    def ShortestPathDijkstra(self, Vertex, Dist, Path):
        """
        输出从顶点Vertex到其余顶点的最短路径
        :param Vertex:
        :param Dist:
        :param Path:
        :return:
        """
        tPath = []
        index = 0
        while index < self.vexnum:
            # index是路径终点
            if index != Vertex:
                print('顶点' + self.vertexs[Vertex].data + '到达顶点' + self.vertexs[index].data + '的路径及长度为:')
                # 从源点Vertex到终点index中间有可能经过了多个顶点
                tPath.append(index)
                former = Path[index]
                while former != Vertex:
                    tPath.append(former)
                    former = Path[former]
                tPath.append(Vertex)
                while len(tPath) > 0:
                    print(self.vertexs[tPath.pop()].data, end='')
                print('\t\t%d' % Dist[index])
            index += 1

四、Floyd算法

F l o y d Floyd Floyd算法，中文名叫弗洛伊德算法，它常用于求解求解每一对顶点之间的最短路径。

假设 G = { V , { A } } G=\{V, \{A\}\} G={V,{A}}是含有 n n n个顶点的有向网，使用 F l o y d Floyd Floyd算法求图中每一对顶点间的最短路径的基本思路如下：

(1) 对于图 G G G中任意两个顶点 v v v和 w w w，将顶点 v v v和顶点 w w w的最短路径的长度记为 D v w D_{vw} Dvw​，并依次判断其余各顶点是否为这两个顶点间最短路径上的顶点。对于除了顶点 v v v和顶点顶点 w w w的任意顶点 u u u，将顶点 v v v和顶点 u u u的最短路径的长度记为 D v u D_{vu} Dvu​，并顶点 u u u和顶点 w w w的最短路径的长度记为 D u w D_{uw} Duw​，若 D v u + D u w < D v w D_{vu}+D_{uw}<D_{vw} Dvu​+Duw​<Dvw​，则将 D v w D_{vw} Dvw​的值修改为 D v u + D u w D_{vu}+D_{uw} Dvu​+Duw​，即顶点 v v v和顶点 w w w的最短路径经过顶点 u u u；

(2) 重复上述过程，直至图中每一顶点间的最短路径都被求出。

当然了，也可以对每个顶点使用 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法来求得每对顶点的最短路径。对于 F l o y d Floyd Floyd算法，这里使用一个辅助二维数组Dist，用来存储源点到每一对顶点间的最短路径长度，二维数组Path来存储每一条最短路径中倒数第二个顶点的下标(弧尾下标)。下面结合着 F l o y d Floyd Floyd算法来分析一下最上面的那个有向网（由于顶点对较多，这里选择 A − I A-I A−I的最短路径进行说明）：

F l o y d Floyd Floyd算法代码实现如下：

 def Floyd(self):
        """
        Floyd算法, 计算每一对顶点间的最短距离
        :return:
        """
        Dist = [[0 for _ in range(self.vexnum)] for _ in range(self.vexnum)]
        Path = [[0 for _ in range(self.vexnum)] for _ in range(self.vexnum)]
        for row in range(self.vexnum):
            for column in range(self.vexnum):
                Dist[row][column] = self.arcs[row][column]
                if self.arcs[row][column] < float('inf') and row != column:
                    Path[row][column] = row
                else:
                    Path[row][column] = -1

        # 判断图中任意两个顶点的最短路径是否经过了结点uVertex
        for uVertex in range(self.vexnum):
            for vVertex in range(self.vexnum):
                for wVertex in range(self.vexnum):
                    if vVertex != wVertex and \
                            Dist[vVertex][uVertex] + Dist[uVertex][wVertex] < Dist[vVertex][wVertex]:
                        Dist[vVertex][wVertex] = Dist[vVertex][uVertex] + Dist[uVertex][wVertex]
                        Path[vVertex][wVertex] = Path[uVertex][wVertex]
        # 输出每一组顶点间的最短路径
        self.ShortestPathFloyd(Dist, Path)

    def ShortestPathFloyd(self, Dist, Path):
        """
        输出每一组顶点间的最短路径
        :param Dist:
        :param Path:
        :return:
        """
        tPath = []
        for start in range(self.vexnum):
            for end in range(self.vexnum):
                if start != end and Dist[start][end] < float('inf'):
                    print('从顶点' + self.vertexs[start].data + '到顶点' + self.vertexs[end].data +
                          '的路径及长度为:')
                    tVertex = Path[start][end]
                    tPath.append(end)
                    while tVertex != -1 and tVertex != start:
                        tPath.append(tVertex)
                        tVertex = Path[start][tVertex]
                    tPath.append(start)
                    while len(tPath) > 0:
                        print(self.vertexs[tPath.pop()].data, end='')
                    print('\t\t%d' % Dist[start][end])

五、代码测试

测试代码如下：

if __name__ == '__main__':
    graph = Graph(kind='Dinetwork')
    graph.CreateGraph(vertex_list=['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'],
                      edge_list=[('A', 'B', 4), ('A', 'C', 8), ('B', 'C', 3), ('B', 'D', 8),
                                 ('C', 'E', 1), ('C', 'F', 6), ('D', 'G', 7), ('D', 'H', 4),
                                 ('E', 'D', 2), ('E', 'F', 6), ('F', 'H', 2), ('G', 'I', 9),
                                 ('H', 'G', 14), ('H', 'I', 10)])

    print('{:*^30}'.format('Dijkstra算法'))
    # 起始位置的index为0
    graph.Dijkstra(0)

    print('{:*^30}'.format('Floyd算法'))
    graph.Floyd()

测试结果如下：

这里只看了一条，就是从顶点 A A A到顶点 I I I的路径，可以看到 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法和 F l o y d Floyd Floyd算法求得的最短路径都是24。

到此这篇关于Python实现最短路径问题的方法的文章就介绍到这了,更多相关Python最短路径内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！