R语言中的fivenum与quantile()函数算法详解

fivenum()函数：

返回五个数据：最小值、下四分位数数、中位数、上四分位数、最大值

对于奇数个数字=5，fivenum()先排序，依次返回最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值

> fivenum(c(1,12,40,23,13))
[1]  1 12 13 23 40

对于奇数个数字>5，fivenum()先排序，我们可以求取最小值，最大值，中位数。在排序中，最小值与中位数中间，若为奇数，取其中位数为下四分位数，若为偶数，取最中间两个数的平均值为下四分位数；在排序中，中位数与最大值中间，若为奇数，取其中位数为上四分位数，若为偶数，取最中间两个数的平均值为上四分位数；

> fivenum(c(2,6,20,8,10,120,30,130,250))
[1]   2   8  20 120 250
> fivenum(c(2,6,20,13,8,10,120,30,130,140,250))
[1]   2   9  20 125 250

对于偶数个数字=4，我们可以先求取最小值，最大值。中位数由最中间相邻的数取平均求出；下四分位数由最小值与其相邻的数求出；上四分位数由最大值与其相邻的数求出；

> fivenum(c(1,10,23,8))
[1]  1.0  4.5  9.0 16.5 23.0

对于偶数个数字>4，排序，在排序中，中位数为最中间两个数的平均值，最小值与中位数前一个数中间，若为奇数，取其中位数为下四分位数，若为偶数，取最中间两个数的平均值为下四分位数；在排序中，中位数后一个数与最大值中间，若为奇数，取其中位数为上四分位数，若为偶数，取最中间两个数的平均值为上四分位数；

> fivenum(c(1,2,3,4,8,10,11,12,14,23))
[1]  1  3  9 12 23
> fivenum(c(1,2,3,8,10,11,14,23))
[1]  1.0  2.5  9.0 12.5 23.0

fivenum()函数或者通过计算位置推出分位数，即：

位置：y=p*(n-1)+1，n为数值个数；

若y为整数，则该位置的数即为所求分位数的值，若y为分数，将该位置前后的两数算数平均即可。

quantile()函数：

R语言中的quantile()是分位数函数，其算法是加权平均，第N个分位数就表示数据集中有N%的数据小于它。

默认情况下，quantile()会告诉你数据集0%,25%,50%,75%,100%位置处的数据，具体算法为：

位置：y=p*(n-1)+1，然后根据位置进行加权平均。

以1-10为例，20%分位数为例，首先位数=1+(10-1)*20%=2.8，所以此分位数在第二和第三个数之间，更靠近第三个数(2<2.8<3)，算法：2*0.2+3*0.8=2.8，权重即越靠近某值，其权重越大，靠近3，则权重为0.8，越远离某值，其权重越小，远离2，则权重为0.2，两个权重和为1。

> quantile(c(1,3,5,7,9,11,13,15))
  0%  25%  50%  75% 100%
 1.0  4.5  8.0 11.5 15.0 

25%分位数：

y=0.25*(8-1)+1=2.75；s=3*0.25+5*0.75=4.5

75%分位数：

y=0.75*(8-1)+1=6.25；s=11*0.75+13*0.25=11.5

补充：R语言 quantile()和fivenum()的差别在于——加权平均与算术平均

quantile()和fivenum()的本质差别在于, quantile()函数的算法是采用加权平均， fivenum()是算术平均。这么说可能不易理解，其实很简单的，下面举个例子说明就容易理解了。

例如，一组数据 x <- 11 : 18,则如下图，第一位是11，第二位是12，，，第8位是18，

对于 quantile()算法——加权平均，

0%位是第1位（ 1+（8-1）*0%=1 ），

值为11； 25%位是第2.75位（1+（8-1）*25%=2.75 ），

第2.75位介于第2位和第3位之间，距离哪位较近，哪位数据的权重较大，所以第3位数据的权重是0.75，第2位数据是

权重是0.25，则25%位的值=13*0.75+12*0.25=12.75；

同理，50%位是第4.5位（ 1+（8-1）*50%=4.5 ），值=14*0.5+15*0.5=14.5；

75%位是第6.25位（ 1+（8-1）*75%=6.25 ），值=16*0.75+17*0.25=16.25；

100%位是第8位（ 1+（8-1）*100%=8 ），值为18；

对于fivenum ()算法——算术平均，

0%位是第1位（ 1+（8-1）*0%=1 ），值为11；

25%位是第2.75位（1+（8-1）*25%=2.75 ），第2.75位介于第2位和第3位之间，用算术平均法，则25%位的值=（13+12）/2=12.5；

同理，50%位是第4.5位（ 1+（8-1）*50%=4.5 ），值=(14+15)/2=14.5；

75%位是第6.25位（ 1+（8-1）*75%=6.25 ），值=(16+17)/2=16.5；

100%位是第8位（ 1+（8-1）*100%=8 ），值为18；

用r语言验证：

quantile()的代码

x <- 1:100
n <- length(x)
probs = seq(0, 1, 0.25)
index <- 1 + (n - 1) * probs
lo <- floor(index)
hi <- ceiling(index)
x <- sort(x, partial = unique(c(lo, hi)))
qs <- x[lo]
i <- which(index > lo)
h <- (index - lo)[i]
qs[i] <- (1 - h) * qs[i] + h * x[hi[i]]
qs
quantile(x=1:100)

fivenum ()的代码

x <- 1:100
n <- length(x)
n4 <- floor((n + 3)/2)/2
d <- c(1, n4, (n + 1)/2, n + 1 - n4, n)
0.5 * (x[floor(d)] + x[ceiling(d)])
fivenum(x=1:100) 

以上为个人经验，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持我们。如有错误或未考虑完全的地方，望不吝赐教。