Java图论进阶之最小生成树算法详解

目录

• 1. 最小生成树
• 1.1 Kruskal(克鲁斯卡尔) 算法
• 1.2 Prime(普里姆) 算法
• 总结

1. 最小生成树

连通图中的每一棵生成树 , 都是原图的极大无环子图 , 即: 从中删去任何一条边 , 生成树就不再连通;反之 , 在其中引入任何一条新边 , 都会形成一条回路.

若连通图由n个顶点组成 , 则其生成树必含n个顶点和n-1条边 , 因此构造最小生成树有三个准则:

• 1.只能使用图中的边来构造最小生成树
• 2.只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
• 3.选用的n-1条边不能构成回路 

常见求解最小生成树的算法有: Kruskal算法和Prime算法.两种算法都采用逐步求解的贪心策略.

贪心算法: 通过局部最优解来推出全局最优解.

1.1 Kruskal(克鲁斯卡尔) 算法

给定一个有n个顶点的连通网络N={V,E}

首先构造一个由这n个顶点组成 , 不含任何边的图G={V,NULL}.

其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任选其一) , 若该边的两个顶点来自不同的连通分量 , 则将此边加入到G中.

如此反复 , 直到G中边数达到顶点数-1为止.

核心: 每次迭代时 , 选出权值最小且两端点不在同一连通分量上的边 , 加入生成树.

步骤分析:

1.由于该算法的思想是全局贪心 , 因此将所有图中所有边全部放入优先级队列中.
2.构造一个最小生成树 , 将优先级队列中的边依次加入.
3.为了防止出现环 , 使用并查集判断每次取出的边的顶点是否来自同一个集合 .
4.如果不是同一集合 , 将该边加入最小生成树并用并查集将该边的领接顶点放入同一个       集合.

代码示例: 

 /**
     * 克鲁斯卡尔算法实现
     * @param minTree
     * @return
     */
    /**
     * 模拟实现一条边
     */
    static class Edge{
        public int srcIndex;
        public int destIndex;
        public int weight;

        public Edge(int srcIndex, int destIndex, int weight) {
            this.srcIndex = srcIndex;
            this.destIndex = destIndex;
            this.weight = weight;
        }
    }

    public int kruskal(GraphOfMatrix minTree) {
        //1.定义一个优先级队列
        PriorityQueue<Edge> minQ = new PriorityQueue<Edge>(new Comparator<Edge>() {
            @Override
            public int compare(Edge o1, Edge o2) {
                return o1.weight - o2.weight;
            }
        });
        int n = arrayV.length;
        //2.遍历领接矩阵,将所有的边都放入优先级队列中
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i < j && Matrix[i][j] != Integer.MIN_VALUE) {
                    minQ.offer(new Edge(i, j, Matrix[i][j]));
                }
            }
        }
        //3.构造并查集将符合要求的边加入到最小生成树中
        UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(n);

        int size = 0;//记录最小生成树中边的数量
        int totalWeight = 0;//记录权值
        while (size < n - 1 && !minQ.isEmpty()) {
            Edge edge = minQ.poll();
            int srcIndex = edge.srcIndex;
            int destIndex = edge.destIndex;
            //同一边的相邻顶点不能来自同一集合
            if (!ufs.isSameUnionFindSet(srcIndex, destIndex)) {
                //将符合条件的边加入到最小生成树中
                minTree.addEdgeUseIndex(srcIndex, destIndex, Matrix[srcIndex][destIndex]);
                System.out.println("选择的边"+arrayV[srcIndex]+" -> "+arrayV[destIndex]+Matrix[srcIndex][destIndex]);
                size++;
                totalWeight += Matrix[srcIndex][destIndex];
                //将添加过的边的相邻顶点放入同一集合,防止出现环.
                ufs.union(srcIndex, destIndex);
            }
        }
        if (size == n - 1) {
            return totalWeight;
        } else {
            throw new RuntimeException("没有最小生成树");
        }
    }

   //按照下标将边加入到最小生成树中
    public void addEdgeUseIndex(int srcIndex,int destIndex,int weight){
        Matrix[srcIndex][destIndex] = weight;
        //如果是无向图邻接矩阵对称位置也要添加
        if (!isDirect){
            Matrix[destIndex][srcIndex] = weight;
        }
    }
    //测试克鲁斯卡尔算法
    public static void main(String[] args) {
        String str = "abcdefghi";
        char[] array =str.toCharArray();
        graph.GraphOfMatrix g = new graph.GraphOfMatrix(str.length(),false);
        g.initArray(array);
        g.addEdge('a', 'b', 4);
        g.addEdge('a', 'h', 8);
//g.addEdge('a', 'h', 9);
        g.addEdge('b', 'c', 8);
        g.addEdge('b', 'h', 11);
        g.addEdge('c', 'i', 2);
        g.addEdge('c', 'f', 4);
        g.addEdge('c', 'd', 7);
        g.addEdge('d', 'f', 14);
        g.addEdge('d', 'e', 9);
        g.addEdge('e', 'f', 10);
        g.addEdge('f', 'g', 2);
        g.addEdge('g', 'h', 1);
        g.addEdge('g', 'i', 6);
        g.addEdge('h', 'i', 7);
        graph.GraphOfMatrix kminTree = new graph.GraphOfMatrix(str.length(),false);
        System.out.println(g.kruskal(kminTree));
        kminTree.printGraph();
    }

构造并查集:

public class UnionFindSet {
    public int[] elem;

    public UnionFindSet(int n){
        this.elem = new int[n];
        Arrays.fill(elem,-1);
    }

    /**
     * 查找数据x的根节点
     * @param x
     * @return
     */
    public int findRoot(int x){
        if (x < 0){
            throw new RuntimeException("下表不合法");
        }
        while (elem[x] >= 0){
            x = elem[x];
        }
        return x;
    }
    /**
     * 查询x1和x2是不是同一个集合
     * @param x1
     * @param x2
     * @return
     */
    public boolean isSameUnionFindSet(int x1 , int x2){
        int index1 = findRoot(x1);
        int index2 = findRoot(x2);
        if (index1 == index2){
            return true;
        }
        return false;
    }

    /**
     * 这是合并操作
     * @param x1
     * @param x2
     */
    public void union(int x1 , int x2){
        int index1 = findRoot(x1);
        int index2 = findRoot(x2);
        if (index1 == index2) return;
        elem[index1] = elem[index1] + elem[index2];
        elem[index2] = index1;
    }

    /**
     * 有几对关系
     * @return
     */
    public int getCount(){
        int count = 0;
        for (int x:elem) {
            if (x < 0){
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
    public void Print(){
        for (int x:elem){
            System.out.print(x+" ");
        }
        System.out.println();
    }
}

 测试结果:

1.2 Prime(普里姆) 算法

普里姆算法与克鲁斯卡尔算法类似 , 核心区别是普里姆算法采用局部贪心的思想.

首先 , 设定两个集合 , X{}已确定顶点的集合 , Y{}未确定顶点的集合.

其次 , 假设图中的顶点为 a,b,c,d,e,f,g,h,i.放入Y{}中.

然后 , 任取一个顶点放入X{}中 . 在Y{}中选择一个与该顶点相连权值最小的边 , 加入最小生成树中.

如此重复 , 直到最小生成树的边数达到顶点数-1为止.

代码示例:

/**
     * 普里姆算法实现
     * @param minTree
     * @param chV 图中顶点的起点
     * @return
     */
    public int prime(GraphOfMatrix minTree,char chV) {
        int srcIndex = getIndexOfV(chV);
        //存储已确定的顶点
        Set<Integer> setX = new HashSet<>();
        setX.add(srcIndex);
        //初始化未确定的点
        Set<Integer> setY = new HashSet<>();
        int n = arrayV.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (i != srcIndex){
                setY.add(i);
            }
        }
        //定义一个优先级队列
        PriorityQueue<Edge> minQ = new PriorityQueue<>(new Comparator<Edge>() {
            @Override
            public int compare(Edge o1, Edge o2) {
                return o1.weight - o2.weight;
            }
        });
        //遍历srcIndex连接出去的边,并放入优先级队列中排序
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (Matrix[srcIndex][i] != Integer.MIN_VALUE){
                minQ.offer(new Edge(srcIndex,i,Matrix[srcIndex][i]));
            }
        }
        int size = 0;
        int totalWeight = 0;
        while (!minQ.isEmpty()){
            Edge min = minQ.poll();
            int srcI = min.srcIndex;
            int destI = min.destIndex;
            if (setX.contains(destI)){
                //此时会构成环
            }else {
                minTree.addEdgeUseIndex(srcI,destI,Matrix[srcI][destI]);
                System.out.println("起点"+arrayV[srcI]+" -> "+"终点"+arrayV[destI]+Matrix[srcI][destI]);
                size++;
                totalWeight+=min.weight;
                if (size == n-1){
                    return totalWeight;
                }
                //更新两个集合
                setX.add(destI);
                setY.remove(destI);
                //把dest连出去的所有边也放到优先级队列中
                for (int i = 0; i < n; i++) {
                    if (Matrix[destI][i] != Integer.MIN_VALUE && !setX.contains(i)){
                        minQ.offer(new Edge(destI,i,Matrix[destI][i]));
                    }
                }
            }
        }
       throw new RuntimeException("没有最小生成树");
    }
    //测试普里姆算法
    public static void main3(String[] args) {
            String str = "abcdefghi";
            char[] array =str.toCharArray();
            GraphOfMatrix g = new GraphOfMatrix(str.length(),false);
            g.initArray(array);
            g.addEdge('a', 'b', 4);
            g.addEdge('a', 'h', 8);
//g.addEdge('a', 'h', 9);
            g.addEdge('b', 'c', 8);
            g.addEdge('b', 'h', 11);
            g.addEdge('c', 'i', 2);
            g.addEdge('c', 'f', 4);
            g.addEdge('c', 'd', 7);
            g.addEdge('d', 'f', 14);
            g.addEdge('d', 'e', 9);
            g.addEdge('e', 'f', 10);
            g.addEdge('f', 'g', 2);
            g.addEdge('g', 'h', 1);
            g.addEdge('g', 'i', 6);
            g.addEdge('h', 'i', 7);
            GraphOfMatrix primTree = new GraphOfMatrix(str.length(),false);
            System.out.println(g.prime(primTree,'a'));
            primTree.printGraph();
    }

总结

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