图文详解牛顿迭代算法原理及Python实现

目录

• 1.引例
• 2.牛顿迭代算法求根
• 3.牛顿迭代优化
• 4 代码实战：Logistic回归

1.引例

给定如图所示的某个函数，如何计算函数零点x₀

在数学上我们如何处理这个问题？

最简单的办法是解方程f(x)=0，在代数学上还有著名的零点判定定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)⋅f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即至少存在一个c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

然而，数学上的方法并不一定适合工程应用，当函数形式复杂，例如出现超越函数形式；非解析形式，例如递推关系时，精确的方程解析一般难以进行，因为代数上还没发展出任意形式的求根公式。而零点判定定理求解效率也较低，需要不停试错。

因此，引入今天的主题——牛顿迭代法，服务于工程数值计算。

2.牛顿迭代算法求根

记第k轮迭代后，自变量更新为x_k，令目标函数f(x)在x=x_k泰勒展开：

f(x)=f(x_k​)+f′(x_k​)(x−x_k​)+o(x)

我们希望下一次迭代到根点，忽略泰勒余项，令f(x_k+1)=0，则

x_k+1​=x_k​−f(x_k​)/f'(x_k​)​

不断重复运算即可逼近根点。

在几何上，上面过程实际上是在做f(x)在x=x_k处的切线，并求切线的零点，在工程上称为局部线性化。如图所示，若x_k在x₀的左侧，那么下一次迭代方向向右。

若x_k在x₀的右侧，那么下一次迭代方向向左。

3.牛顿迭代优化

将优化问题转化为求目标函数一阶导数零点的问题，即可运用上面说的牛顿迭代法。

具体地，记第k轮迭代后，自变量更新为x_k ，令目标函数f(x)在x=x_k泰勒展开：

f(x)=f(x_k​)+f′(x_k​)(x−x_k​)+1/2​f′′(x_k​)(x−x_k​)²+o(x)

两边求导得

f′(x)=f′(x_k​)+f′′(x_k​)(x−x_k​)

令f′(x_k+1​)=f′(x_k​)+f′′(x_k​)(x_k+1​−x_k​)=0，从而得到

x_k+1​=x_k​−f′(x_k​)/f'′(x_k​)​

对于向量x=[x₁​​ x_2​​⋯​x_d​​]^T，将上述迭代公式推广为

x_k+1​=x_k​−[∇²f(x_k​)]⁻¹∇f(x_k​)

其中∇²f(x_k​)是Hessian矩阵，当其正定时可以保证牛顿优化算法往 减小的方向迭代

牛顿法的特点如下：

① 以二阶速率向最优点收敛，迭代次数远小于梯度下降法，优化速度快；

梯度下降法的解析参考图文详解梯度下降算法的原理及Python实现

②学习率为[∇²f(x_k​)]⁻¹ ，包含更多函数本身的信息，迭代步长可实现自动调整，可视为自适应梯度下降算法；

③ 耗费CPU计算资源多，每次迭代需要计算一次Hessian矩阵，且无法保证Hessian矩阵可逆且正定，因而无法保证一定向最优点收敛。

在实际应用中，牛顿迭代法一般不能直接使用，会引入改进来规避其缺陷，称为拟牛顿算法簇，其中包含大量不同的算法变种，例如共轭梯度法、DFP算法等等，今后都会介绍到。

4 代码实战：Logistic回归

import pandas as pd
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from Logit import Logit

'''
* @breif: 从CSV中加载指定数据
* @param[in]: file -> 文件名
* @param[in]: colName -> 要加载的列名
* @param[in]: mode -> 加载模式, set: 列名与该列数据组成的字典, df: df类型
* @retval: mode模式下的返回值
'''
def loadCsvData(file, colName, mode='df'):
    assert mode in ('set', 'df')
    df = pd.read_csv(file, encoding='utf-8-sig', usecols=colName)
    if mode == 'df':
        return df
    if mode == 'set':
        res = {}
        for col in colName:
            res[col] = df[col].values
        return res

if __name__ == '__main__':
    # ============================
    # 读取CSV数据
    # ============================
    csvPath = os.path.abspath(os.path.join(__file__, "../../data/dataset3.0alpha.csv"))
    dataX = loadCsvData(csvPath, ["含糖率", "密度"], 'df')
    dataY = loadCsvData(csvPath, ["好瓜"], 'df')
    label = np.array([
        1 if i == "是" else 0
        for i in list(map(lambda s: s.strip(), list(dataY['好瓜'])))
    ])

    # ============================
    # 绘制样本点
    # ============================
    line_x = np.array([np.min(dataX['密度']), np.max(dataX['密度'])])
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
    plt.title('对数几率回归模拟\nLogistic Regression Simulation')
    plt.xlabel('density')
    plt.ylabel('sugarRate')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==0],
                dataX['含糖率'][label==0],
                marker='^',
                color='k',
                s=100,
                label='坏瓜')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==1],
                dataX['含糖率'][label==1],
                marker='^',
                color='r',
                s=100,
                label='好瓜')

    # ============================
    # 实例化对数几率回归模型
    # ============================
    logit = Logit(dataX, label)

    # 采用牛顿迭代法
    logit.logitRegression(logit.newtomMethod)
    line_y = -logit.w[0, 0] / logit.w[1, 0] * line_x - logit.w[2, 0] / logit.w[1, 0]
    plt.plot(line_x, line_y, 'g-', label="牛顿迭代法")

    # 绘图
    plt.legend(loc='upper left')
    plt.show()

其中更新权重代码为

    '''
    * @breif: 牛顿迭代法更新权重
    * @param[in]: None
    * @retval: 优化参数的增量dw
    '''
    def newtomMethod(self):
        wTx = np.dot(self.w.T, self.X).reshape(-1, 1)
        p = Logit.sigmod(wTx)
        dw_1 = -self.X.dot(self.y - p)
        dw_2 = self.X.dot(np.diag((p * (1 - p)).reshape(self.N))).dot(self.X.T)
        dw = np.linalg.inv(dw_2).dot(dw_1)
        return dw

到此这篇关于图文详解牛顿迭代算法原理及Python实现的文章就介绍到这了,更多相关Python牛顿迭代算法内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！