素数判定算法的实现

1. 素数判定问题

素数判定问题是一个非常常见的问题，本文介绍了常用的几种判定方法。

2. 原始算法

素数的定义是，除了能被1和它本身整除而不能被其他任何数整除的数。根据素数定义 只需要用2到n-1去除n，如果都除不尽，则n是素数，否则，只要其中有一个数能整除则n不是素数。

代码如下:

bool is_primer1(int num) {
 
  int i;
 
  for(i = 2; i < num; i++) {
 
    if(num % i == 0) {
 
      return true;
 
    }
 
  }
 
  return false;
 
}

3. 改进算法

n不是素数，则n可表示为a*b，其中2<=a<=b<=n-1,则a，b中必有一个数满足：1<x<=sqrt(n)，因而，只需要用2~sqrt(n)去除n，这样就得到一个复杂度为O(sqrt(n))的算法

代码如下:

bool is_primer2(int num) {
 
  int i;
 
  int upper = sqrt(num);
 
  printf("primer2:%d\n", upper);
 
  for(i = 2; i <= upper; i++) {
 
    if(num % i == 0) {
 
      return true;
 
    }
 
  }
 
  return false;
 
}

4. 筛选算法

更高效地素数判断方法应该是将素数预先保存到一个素数表中，当判断一个数是否为素数时，直接查表即可。这种方法需要解决两个问题：

(1) 怎样快速得到素数表？（采用筛选方法）
(2) 怎样减少素数表的大小？（采用位图数据结构）

对于1到n全部整数，逐个判断它们是否是素数，找出一个非素数，就把它挖掉，最后剩下的就是素数。具体方法是：

<1> 定义is_primer[i] = true;
<2> 从2开始，依次遍历整个is_primer(直到sqrt(N))，如果is_primer[i]=true,则is_primer[n*i]=false
如1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，则
从2开始遍历：
is_primer[2]=true，则is_primer[4]= is_primer[6]= is_primer[8]= is_primer[10]= true
is_primer[3]=true，则is_primer[6]= is_primer[9]= true
为了减少内存使用率，算法使用了位图数据结构，关于位图，可参考：http://www.jb51.net/article/54439.htm

代码如下:

bool load_primer_table1() { //保存素数表
 
  int i;
 
  for(i = 1; i < INT_MAX; i++) {
 
    if(i % 2 != 0 //偶数一定不是素数
 
      && is_primer2(i)) {
 
      set(i);
 
    }
 
  }
 
}
 
bool load_primer_table2() {//另一种更快的方法保存素数表
 
  int i, j;
 
  for(i = 1; i <= INT_MAX; i++) {
 
    if( i % 2) {
 
      set(i);
 
    } else {
 
      clear(i);
 
    }
 
  }
 
  int upper = sqrt(INT_MAX);
 
  for(i = 1; i <= upper; i++) {
 
    if(test(i)) {
 
      for(j = i + i; j < INT_MAX; j += i)
 
        set(i);
 
    }
 
  }
 
}
 
bool is_primer3(long num) { //查表判断是否为素数
 
  if(test(num))
 
    return true;
 
  return false;
 
}

5. 优化的筛选算法

(1) 存储方式优化

仍然采用位图方式存储，只不过是位图中只存储奇数，这样一下子节省了一半空间（需要的空间仅为4G/(32*2)=64MB）
存储空间优化后，算法效率也会提升很多，如：1,2，…,30
只需存储3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29
i=0, is_primer[0] =true, 把下标[3][6][9][12]，即9,15,21,27,标为false
i=1, s_primer[0] =true,把下标为[6][11],即15,25标为false
i=2, 2*i+3>sqrt(30),结束
即：i=s, 把下标为s(2*t+1)+3t,其中，t=1,2,3，…中所有的的is_primer置为false

(2) 优化删选算法

a是素数，则下一个起点是a*a,把后面的所有的a*a+2*i*a筛掉。即欲求n以内的素数，就先把sqrt(n)内的素数求出来，用已经求得的素数来筛出后面的合数。

6. 总结

至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出所有的素数。关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力，如：

(1) 高斯猜测，n以内的素数个数大约与n/ln(n)相当，或者说，当n很大时，两者数量级相同。这就是著名的素数定理。

(2) 十七世纪费马猜测，2的2^n次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数，可惜当n=5时，2^32+1就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。

(3) 18世纪发现的最大素数是2^31-1，19世纪发现的最大素数是2^127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2^859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。

(4) 孪生素数猜想：差为2的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是1159142985×2^2304－1和1159142985×2^2304＋1。

(5) 歌德巴赫猜想：大于2的所有偶数均是两个素数的和，大于5的所有奇数均是三个素数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为1+1问题。我国数学家陈景润证明了1+2，即所有大于2的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。国际上称为陈氏定理。