python实现的共轭梯度法

共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

算法步骤：

import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
  '''
  线性搜索子函数
  数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，t试探系数>1，
  '''
  flag = 0

  a = 0
  b = alpham
  fk = f(x)
  gk = df(x)

  phi0 = fk
  dphi0 = np.dot(gk, d)
  alpha=b*random.uniform(0,1)

  while(flag==0):
    newfk = f(x + alpha * d)
    phi = newfk
    # print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)
    if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):
      if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):
        flag = 1
      else:
        a = alpha
        b = b
        if (b < alpham):
          alpha = (a + b) / 2
        else:
          alpha = t * alpha
    else:
      a = a
      b = alpha
      alpha = (a + b) / 2
  return alpha

def Wolfesearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
  '''
  线性搜索子函数
  数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d
  σ∈(ρ,1)=0.75
  '''
  sigma=0.75

  flag = 0

  a = 0
  b = alpham
  fk = f(x)
  gk = df(x)

  phi0 = fk
  dphi0 = np.dot(gk, d)
  alpha=b*random.uniform(0,1)

  while(flag==0):
    newfk = f(x + alpha * d)
    phi = newfk
    # print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)
    if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):
      # if abs(np.dot(df(x + alpha * d),d))<=-sigma*dphi0:
      if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):
        flag = 1
      else:
        a = alpha
        b = b
        if (b < alpham):
          alpha = (a + b) / 2
        else:
          alpha = t * alpha
    else:
      a = a
      b = alpha
      alpha = (a + b) / 2
  return alpha

def frcg(fun,gfun,x0):

  # x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度
  # x,val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数
  # dk是搜索方向，gk是梯度方向
  # epsilon是预设精度，np.linalg.norm(gk)求取向量的二范数
  maxk = 5000
  rho = 0.6
  sigma = 0.4
  k = 0
  epsilon = 1e-5
  n = np.shape(x0)[0]
  itern = 0
  W = np.zeros((2, 20000))

  f = open("共轭.txt", 'w')

  while k < maxk:
      W[:, k] = x0
      gk = gfun(x0)
      itern += 1
      itern %= n
      if itern == 1:
        dk = -gk
      else:
        beta = 1.0 * np.dot(gk, gk) / np.dot(g0, g0)
        dk = -gk + beta * d0
        gd = np.dot(gk, dk)
        if gd >= 0.0:
          dk = -gk
      if np.linalg.norm(gk) < epsilon:
        break

      alpha=goldsteinsearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)
      # alpha=Wolfesearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)
      x0+=alpha*dk

      f.write(str(k)+'  '+str(np.linalg.norm(gk))+"\n")
      print(k,alpha)
      g0 = gk
      d0 = dk
      k += 1

  W = W[:, 0:k+1] # 记录迭代点
  return [x0, fun(x0), k,W]

def fun(x):
  return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2
def gfun(x):
  return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0] ** 2)])

if __name__=="__main__":
  X1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05)
  X2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05)
  [x1, x2] = np.meshgrid(X1, X2)
  f = 100 * (x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2 # 给定的函数
  plt.contour(x1, x2, f, 20) # 画出函数的20条轮廓线

  x0 = np.array([-1.2, 1])
  x=frcg(fun,gfun,x0)
  print(x[0],x[2])
  # [1.00318532 1.00639618]
  W=x[3]
  # print(W[:, :])
  plt.plot(W[0, :], W[1, :], 'g*-') # 画出迭代点收敛的轨迹
  plt.show()

代码中求最优步长用得是goldsteinsearch方法，另外的Wolfesearch是试验的部分，在本段程序中不起作用。

迭代轨迹：

三种最优化方法的迭代次数对比：

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持我们。