python绘制超炫酷动态Julia集示例
目录
- 前言
- Mandelbrot集
- 无限缩放
- Julia集
前言
此Julia非彼Julia,指的是对于某复数 c c c,使得迭代式 f ( z ) = z 2 + c f(z)=z^2+c f(z)=z2+c收敛的复数 z z z的集合。例如,当 c = 0 c=0 c=0时,那么其收敛区间为 z 2 < 1 z^2<1 z2<1的单位圆,对应的 c c c的Julia集便是 cos θ + i sin θ \cos\theta+i\sin\theta cosθ+isinθ。
Mandelbrot集
特别地,当 c = z c=z c=z的初始值时,符合收敛条件的 z z z的便构成大名鼎鼎的Mandelbrot集
在上图中,颜色表示该点的发散速度,可以理解为开始发散时迭代的次数。其生成代码也非常简单,唯一需要注意的是,由于使用了大量的矩阵运算,故使用了cupy
,如果电脑没装cuda
,只需将所有的cp
改为np
即可。
# 这些代码会在后面的程序中反复调用,不再说明 import numpy as np import time import matplotlib.pyplot as plt import cupy as cp #生成z坐标 x0,y0 为起始点, nx,ny为点数, delta为点距 def genZ(x0, y0, nx, ny, delta): real, img = cp.indices([nx,ny])*delta real += x0 img += y0 return real.T+img.T*1j #获取Julia集,n为迭代次数,m为判定发散点,大于1即可 def getJulia(z,c,n,m=2): t = time.time() z,out = z*1, cp.abs(z) c = cp.zeros_like(z)+c for i in range(n): absz = cp.abs(z) z[absz>m]=0 #对开始发散的点置零 c[absz>m]=0 out[absz>m]=i #记录发散点的发散速度 z = z*z + c print("time:",time.time()-t) return out z1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003) mBrot = getJulia(z1,z1,50) plt.imshow(mBrot.get(), cmap=plt.cm.jet) plt.show()
如果对其生成过程感兴趣,那么可以观察一下随着迭代次数的增加,图像的变化情况
代码如下。
from matplotlib import animation fig = plt.figure() fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1) ax = plt.subplot() def getJulias(z,c,n,m=2): z,out = z*1, cp.abs(z) c = cp.zeros_like(z)+c J = [] for i in range(n): z = z*z + c absz = cp.abs(z) z[absz>m]=0 #对开始发散的点置零 c[absz>m]=0 out[absz>m]=i #记录发散点的发散速度 im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True) ax.set_axis_off() J.append([im]) return J N = 75 #迭代次数 z1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003) J = getJulias(z1,z1,N) ani = animation.ArtistAnimation(fig, J, interval=50, blit=True,repeat_delay=1000) plt.show() ani.save('julias.gif',writer='imagemagick')
无限缩放
Mandelbrot集的分形特征意味着我们所生成的图片可以无限放大,但是受到栅格化尺寸的影响,手动的放大并不会更改其真实尺寸,
为了照顾观感,将缩放中心作为图像的中心,所以对genZ
函数进行修改。如果选取(-0.75,-0.2)
作为缩放中心,则其变化如下
代码为
from matplotlib import animation # 生成z坐标 xy=np.array([xc,yc]) 为起始点, # nxy=np.array([nx,ny])为点数, delta为点距 def genZbyCenter(xy,nxy,delta): x0, y0 = xy-np.array(nxy)*delta/2 return genZ(x0,y0,*nxy,delta) mBrots = [] xy = [-0.75,-0.2] nxy = [1000,1000] delta0 = 0.003 #初始宽度 fig = plt.figure() fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1) ax = plt.subplot() for n in range(50): z1 = genZbyCenter(xy,nxy,1.1**(-n)*delta0) out = getJulia(z1,z1,40) im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True) ax.set_axis_off() mBrots.append([im]) ani = animation.ArtistAnimation(fig, mBrots, interval=50, blit=True) plt.show() ani.save('zoom.gif',writer='imagemagick')
Julia集
如果更改c
的值,那么就能得到一个变化着的Julia集,例如,下面选取一条直线
y = x y=x y=x
上面的Julia集,效果如图所示
代码为
z1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003) fig = plt.figure() fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1) ax = plt.subplot() mBrots = [] for x in np.arange(0.5,1,0.01): c = x + x*1j out = getJulia(z1,c,40) im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True) ax.set_axis_off() mBrots.append([im]) ani = animation.ArtistAnimation(fig, mBrots, interval=50) plt.show() ani.save('julia.gif',writer='imagemagick')
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