C语言求Fibonacci斐波那契数列通项问题的解法总结

一：递归实现
 　　使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。

二：数组实现
 　　空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。

三：vector<int>实现
 　　时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。

四：queue<int>实现
 　　当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，
 　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。

五：迭代实现
 　　迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。

六：公式实现
百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。

由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。

完整的实现代码如下：

#include "iostream"
#include "queue"
#include "cmath"
using namespace std; 

int fib1(int index)   //递归实现
{
  if(index<1)
  {
    return -1;
  }
  if(index==1 || index==2)
    return 1;
  return fib1(index-1)+fib1(index-2);
}
int fib2(int index)   //数组实现
{
  if(index<1)
  {
    return -1;
  }
  if(index<3)
  {
    return 1;
  }
  int *a=new int[index];
  a[0]=a[1]=1;
  for(int i=2;i<index;i++)
    a[i]=a[i-1]+a[i-2];
  int m=a[index-1];
  delete a;     //释放内存空间
  return m;
} 

int fib3(int index)      //借用vector<int>实现
{
  if(index<1)
  {
    return -1;
  } 

  vector<int> a(2,1);   //创建一个含有2个元素都为1的向量
  a.reserve(3);
  for(int i=2;i<index;i++)
  {
    a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1));
    a.pop_back();
  }
  return a.at(0);
}  

int fib4(int index)    //队列实现
{
  if(index<1)
  {
    return -1;
  }
  queue<int>q;
  q.push(1);
  q.push(1);
  for(int i=2;i<index;i++)
  {
    q.push(q.front()+q.back());
    q.pop();
  }
  return q.back();
}
int fib5(int n)     //迭代实现
{
  int i,a=1,b=1,c=1;
  if(n<1)
  {
    return -1;
  }
  for(i=2;i<n;i++)
  {
    c=a+b;   //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法）
    a=b;
    b=c;
  }
  return c;
}
int fib6(int n)
{
  double gh5=sqrt((double)5);
  return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5);
}  

int main(void)
{
  printf("%d\n",fib3(6));
  system("pause");
  return 0;
}

七：二分矩阵方法

如上图，Fibonacci 数列中任何一项可以用矩阵幂算出，而n次幂是可以在logn的时间内算出的。
下面贴出代码：

void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod)
{
  int tmp[4];
  tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];
  tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1];
  tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];
  tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];
  c[0][0]=tmp[0]%mod;
  c[0][1]=tmp[1]%mod;
  c[1][0]=tmp[2]%mod;
  c[1][1]=tmp[3]%mod;
}//计算矩阵乘法，c=a*b 

int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数
{
  if(n==0)return 0;
  else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1 

  int a[2][2]={{1,1},{1,0}};
  int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵
  int s;
  n-=2;
  while(n>0)
  {
    if(n%2 == 1)
      multiply(result,result,a,mod);
    multiply(a,a,a,mod);
    n /= 2;
  }//二分法求矩阵幂
  s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果
  return s;
} 

附带的再贴上二分法计算a的n次方函数。

int pow(int a,int n)
{
  int ans=1;
  while(n)
  {
    if(n&1)
      ans*=a;
    a*=a;
    n>>=1;
  }
  return ans;
}