C++数据结构之AVL树的实现
目录
- 1.概念
- (1)二叉搜索树的缺点
- (2)定义节点
- 2.插入
- (1)拆分
- (2)找节点与插节点
- (3)更新平衡因子与旋转
- 3.判断
- 4.完整代码及测试代码
- 完整代码
- 测试代码
1.概念
(1)二叉搜索树的缺点
要手撕AVL树,我们首先要知道什么是AVL树。AVL树是在二叉搜索树的基础之上改造的。当我们插入的是一个有序的序列的时候,二叉搜素树会使用一条直线来进行存储,这样并不利于查找。
当遇到这种情况的时候我们就需要对这棵树来进行调整。AVL树会通过旋转等操作,来规避这种情况。最终满足每一个节点的平衡因子的绝对值<=1,从而达到近似平衡的目的。
节点的平衡因子值=右子树的高度-左子树高度
(2)定义节点
在AVL树中,除了需要定义平衡因子bf之外,还需要定义指向节点父节点的指针。方便我们来进行平衡因子的更新。
struct AVLTreeNode { AVLTreeNode* right; AVLTreeNode* left; AVLTreeNode* parent; pair<int, int> _kv; int _bf; AVLTreeNode(pair<int, int> kv) :right(nullptr) ,left(nullptr) ,parent(nullptr) ,_kv(kv) ,_bf(0) {} };
同时和map一样,我们使用pair类型来进行数据的存储。
2.插入
(1)拆分
AVL树的插入就是AVL树的精髓所在,我们在插入节点的同时还需要对平衡因子进行控制。
AVL树的插入我们可以拆分成五个函数,其中四个为旋转函数,一个为主要的插入函数。
而这个主要的插入函数,我们还可以将其分为三个部分:找节点,插节点,更新平衡因子。而更新平衡因子后就需要判断是否需要进行旋转的操作。
在进行插入之前,我们将插入的节点定义为kv。
(2)找节点与插节点
这一过程与二叉搜索树是相同的,这里就不多赘述了。二叉搜索树
直接上代码:
//初始化头结点 if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } //找到要插入节点的位置 Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->left; } else { assert(false); } } //插入节点 cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first<kv.first) { parent->right = cur; cur->parent = parent; } else if (parent->_kv.first>kv.first) { parent->left = cur; cur->parent = parent; } else { assert(false); }
(3)更新平衡因子与旋转
更新平衡因子
每当我们插入一个节点的时候,就需要对该节点的所有父辈节点来进行平衡因子的更新。注意,当插入节点后,只有其父辈节点的平衡因子才会受到影响,而其他节点的平衡因子不会被影响。
可以根据每个节点的parent来找到其父亲节点,从而逐渐向上更新平衡因子。
当遇到以下两种情况平衡因子的更新停止。
1.某一父辈节点的平衡因子为0。
2.更新到根节点。
旋转
当更新之后的平衡因子为2或者-2的时候,不符合AVL树的平衡因子在-1~1之间的定义,此时需要发生旋转。触发旋转的条件与当前节点cur和它的parent有关。
当parent和cur的平衡因子分别为:
(1)2和1,触发左旋
void RotateL(Node* parent) { Node* cur = parent->right; Node* curL = cur->left; Node* parentParent = parent->parent; parent->right = curL; if (curL) curL->parent = parent; cur->left = parent; parent->parent = cur; if (parent == _root) { _root = cur; _root->parent = nullptr; } else { if (parentParent->left == parent) { parentParent->left = cur; cur->parent = parentParent; } else if (parentParent->right == parent) { parentParent->right = cur; cur->parent = parentParent; } else { assert(false); } } parent->_bf = 0; cur->_bf = 0; }
用一张图来表示一下这个过程:
h表示某树的高度,当在红色部分处插入一个节点时,60的平衡因子变为1,30的平衡因子变为2。
此时就需要发生旋转:
通过旋转使树重新变成一棵AVL树,整个过程分为三步:
- 1.60的左子树置为30,30的右子树置为60的左子树。
- 2.将30与更上层的父辈节点链接起来。
- 3.将30和60的平衡因子都更新为0。
注意,由于AVL树是三叉树,因此在链接的时候需要将父节点也链接起来。因此在将60的左子树链接到30的右子树的时候,需要进行判空来避免空指针的解引用:
void RotateL(Node* parent) { Node* cur = parent->right; Node* curL = cur->left; Node* parentParent = parent->parent; parent->right = curL; if (curL) curL->parent = parent; cur->left = parent; parent->parent = cur; if (parent == _root) { _root = cur; _root->parent = nullptr; } else { if (parentParent->left == parent) { parentParent->left = cur; cur->parent = parentParent; } else if (parentParent->right == parent) { parentParent->right = cur; cur->parent = parentParent; } else { assert(false); } } parent->_bf = 0; cur->_bf = 0; }
(2)-2和-1,触发右旋
右旋同样分为三步:
- 1.将30的右链接到60的左子树。将60链接到30的右。
- 2.将30与上层节点链接起来。
- 3.将30和60的平衡因子都更新为0。
void RotateR(Node* parent) { Node* cur = parent->left; Node* curL = cur->left; Node* curR = cur->right; Node* parentParent = parent->parent; parent->left = curR; if (curR) curR->parent = parent; cur->right = parent; parent->parent = cur; if (parent == _root) { _root = cur; _root->parent = nullptr; } else { if (parentParent->left == parent) { parentParent->left = cur; cur->parent = parentParent; } else if (parentParent->right == parent) { parentParent->right = cur; cur->parent = parentParent; } else { assert(false); } } cur->_bf = 0; parent->_bf = 0; }
(3)-2和1,左右双旋
当为-2和1或者2和-1的时候,仅仅靠单旋是解决不了问题的,这个时候我们就需要进行双旋:
左单旋:
右单旋:
无论是在红色部分或者蓝色部分插入节点,都会导致发生左右双旋。
左右双旋分为三步:
- 1.对30节点进行左单旋。
- 2.对90节点进行右单旋。
- 3.根据60的平衡因子来更新30和90的平衡因子:当60的平衡因子为0时,30和90的平衡因子也为0;当60的平衡因子为1时,30的平衡因子为-1,90的平衡因子为0;当60的平衡因子为-1时,30的平衡因子为0,90的平衡因子为1。
void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->left; Node* subLR =subL->right; int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->left); RotateR(parent); if (bf == 0) { parent->_bf = 0; subLR->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 1; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; } }
(4)2和-1,右左双旋
右单旋:
左单旋:
无论是在红色部分或者蓝色部分插入节点,都会导致发生右左双旋。
右左双旋分为三步:
- 1.对90节点进行右单旋。
- 2.对30节点进行左单旋。
- 3.根据60的平衡因子来更新30和90的平衡因子:当60的平衡因子为0时,30和90的平衡因子也为0;当60的平衡因子为1时,30的平衡因子为-1,90的平衡因子为0;当60的平衡因子为-1时,30的平衡因子为0,90的平衡因子为1。
void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->right; Node* subRL = subR->left; int bf = subRL->_bf; RotateR(parent->right); RotateL(parent); if (bf == 0) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; } else { assert(false); } }
3.判断
我们可以建立一个函数来判断一棵树是否为AVL树。
我们使用递归来进行这一过程,依次判断各个子树是否为AVL树。
要判断我们就需要知道每一棵树的高度,此时我们需要构造一个求树的高度的函数Height。它也由递归来实现。
int Height(Node* root) { if (root == nullptr) { return 0; } int leftHeight = Height(root->left); int rightHeight = Height(root->right); return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1; } bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) { return true; } int leftHeight = Height(root->left); int rightHeight = Height(root->right); if ((rightHeight - leftHeight) != root->_bf) { cout << "现在是:" << root->_bf << endl; cout << "应该是:" << rightHeight - leftHeight << endl; return false; } return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->left) && _IsBalance(root->right); }
4.完整代码及测试代码
完整代码
#pragma once #include<iostream> #include<assert.h> #include<math.h> using namespace std; struct AVLTreeNode { AVLTreeNode* right; AVLTreeNode* left; AVLTreeNode* parent; pair<int, int> _kv; int _bf; AVLTreeNode(pair<int, int> kv) :right(nullptr) ,left(nullptr) ,parent(nullptr) ,_kv(kv) ,_bf(0) {} }; class AVLTree { typedef AVLTreeNode Node; public: AVLTree() { _root = nullptr; } void InOrder() { _InOrder(_root); } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->left); cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; _InOrder(root->right); } int Height(Node* root) { if (root == nullptr) { return 0; } int leftHeight = Height(root->left); int rightHeight = Height(root->right); return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1; } bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) { return true; } int leftHeight = Height(root->left); int rightHeight = Height(root->right); if ((rightHeight - leftHeight) != root->_bf) { cout << "现在是:" << root->_bf << endl; cout << "应该是:" << rightHeight - leftHeight << endl; return false; } return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->left) && _IsBalance(root->right); } //右单旋 void RotateR(Node* parent) { Node* cur = parent->left; Node* curL = cur->left; Node* curR = cur->right; Node* parentParent = parent->parent; parent->left = curR; if (curR) curR->parent = parent; cur->right = parent; parent->parent = cur; if (parent == _root) { _root = cur; _root->parent = nullptr; } else { if (parentParent->left == parent) { parentParent->left = cur; cur->parent = parentParent; } else if (parentParent->right == parent) { parentParent->right = cur; cur->parent = parentParent; } else { assert(false); } } cur->_bf = 0; parent->_bf = 0; } //左单旋 void RotateL(Node* parent) { Node* cur = parent->right; Node* curL = cur->left; Node* parentParent = parent->parent; parent->right = curL; if (curL) curL->parent = parent; cur->left = parent; parent->parent = cur; if (parent == _root) { _root = cur; _root->parent = nullptr; } else { if (parentParent->left == parent) { parentParent->left = cur; cur->parent = parentParent; } else if (parentParent->right == parent) { parentParent->right = cur; cur->parent = parentParent; } else { assert(false); } } parent->_bf = 0; cur->_bf = 0; } //左右双旋 void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->left; Node* subLR =subL->right; int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->left); RotateR(parent); if (bf == 0) { parent->_bf = 0; subLR->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 1; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; } } //右左双旋 void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->right; Node* subRL = subR->left; int bf = subRL->_bf; RotateR(parent->right); RotateL(parent); if (bf == 0) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; } else { assert(false); } } bool InsertNode(pair<int, int> kv) { //初始化头结点 if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } //找到要插入节点的位置 Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->left; } else { assert(false); } } //插入节点 cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first<kv.first) { parent->right = cur; cur->parent = parent; } else if (parent->_kv.first>kv.first) { parent->left = cur; cur->parent = parent; } else { assert(false); } //更新插入节点以上的平衡因子 while (parent) { if (cur == parent->left) { parent->_bf--; } else if (cur == parent->right) { parent->_bf++; } if (parent->_bf == 0) { break; } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { cur = parent; parent = parent->parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { RotateR(parent);//右单旋 } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { RotateL(parent);//左单旋 } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent); } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent); } } else { assert(false); } } } private: Node* _root; };
测试代码
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include"AVLTree.h" void TestRotateR() { AVLTree t; t.InsertNode(make_pair(5, 1)); t.InsertNode(make_pair(4, 1)); t.InsertNode(make_pair(3, 1)); t.InsertNode(make_pair(2, 1)); t.InsertNode(make_pair(1, 1)); t.InsertNode(make_pair(0, 1)); t.InOrder(); cout << t.IsBalance() << endl; } void TestRotateL() { AVLTree t; t.InsertNode(make_pair(0, 1)); t.InsertNode(make_pair(1, 1)); t.InsertNode(make_pair(2, 1)); t.InsertNode(make_pair(3, 1)); t.InsertNode(make_pair(4, 1)); t.InsertNode(make_pair(5, 1)); t.InOrder(); cout << t.IsBalance() << endl; } void Testbf() { AVLTree t; t.InsertNode(make_pair(5, 1)); t.InsertNode(make_pair(7, 1)); t.InsertNode(make_pair(3, 1)); t.InsertNode(make_pair(4, 1)); t.InsertNode(make_pair(2, 1)); t.InsertNode(make_pair(8, 1)); t.InsertNode(make_pair(9, 1)); t.InsertNode(make_pair(6, 1)); t.InsertNode(make_pair(1, 1)); t.InsertNode(make_pair(11, 1)); t.InOrder(); cout << t.IsBalance() << endl; } void TestRL() { AVLTree t; t.InsertNode(make_pair(60, 1)); t.InsertNode(make_pair(50, 1)); t.InsertNode(make_pair(90, 1)); t.InsertNode(make_pair(100, 1)); t.InsertNode(make_pair(80, 1)); t.InsertNode(make_pair(70, 1)); t.InOrder(); cout << t.IsBalance() << endl; } void TestLR() { AVLTree t; t.InsertNode(make_pair(90, 1)); t.InsertNode(make_pair(100, 1)); t.InsertNode(make_pair(60, 1)); t.InsertNode(make_pair(50, 1)); t.InsertNode(make_pair(70, 1)); t.InsertNode(make_pair(80, 1)); t.InOrder(); cout << t.IsBalance() << endl; } int main() { //TestRotateR(); //Testbf(); //TestRotateL(); //TestRL(); TestLR(); }
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