Python深度学习线性代数示例详解

目录

• 标量
• 向量
• 长度、维度和形状
• 矩阵
• 张量
• 张量算法的基本性质
• 降维
• 点积
• 矩阵-矩阵乘法
• 范数

标量

标量由普通小写字母表示（例如，x、y和z）。我们用 R \mathbb{R} R表示所有（连续）实数标量的空间。

标量由只有一个元素的张量表示。下面代码，我们实例化了两个标量，并使用它们执行一些熟悉的算数运算，即加法、乘法、除法和指数。

import torch
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
x + y, x * y, x / y, x ** y

tensor([5]), tensor([6]), tensor([1.5]), tensor([9])

向量

向量是标量值组成的列表，我们将这些标量值称为向量的元素或分量。
在数学表示法中，我们通常将向量记为粗体、小写的符号（例如， x \mathbf{x} x、 y \mathbf{y} y和 z \mathbf{z} z）

我们通过一维张量处理向量。一般来说，张量可以具有任意长度，最大长度取决于机器的内存限制。

x = torch.arange(4)

tensor([0, 1, 2, 3])

大量文献认为列向量是向量的默认方向。在数学中，向量 x \mathbf{x} x可以写为：

我们可以通过张量的索引来访问任一元素。

x[3]

tensor(3)

长度、维度和形状

在数学表示法中，如果我们想说一个向量 x \mathbf{x} x由 n n n个实值标量组成，我们可以将其表示为 x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} x∈Rn。向量的长度通常称为向量的维度。

与普通的Python数组一样，我们可以通过调用Python的内置len()函数来访问张量的长度。

len(x)

4

当用张量表示一个向量（只有一个轴）时，我们也可以通过.shape属性访问向量的长度。形状（shape）是一个元组，列出了张量沿每个轴的长度（维数）。对于只有一个轴的张量，形状只有一个元素。

x.shape

torch.Size([4])

注意，维度（dimension）这个词在不同上下文时往往会有不同的含义，这经常会使人感到困惑。为了清楚起见，我们在此明确一下。向量或轴的维度被用来表示向量或轴的长度，即向量或轴的元素数量。然而，张量的维度用来表示张量具有的轴数。在这个意义上，张量的某个轴的维数就是这个轴的长度。

矩阵

当矩阵具有相同数量的行和列时，其形状将变为正方形；因此，它被称为方矩阵。

当调用函数来实例化张量时，我们可以通过指定两个分量m和n来创建一个形状为 m×n的矩阵。

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)

tensor([[0, 1, 2, 3],
        [4, 5, 6, 7],
        [8, 9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

A.T

tensor([[0, 4, 8, 12, 16],
        [1, 5, 9, 13, 17],
        [2, 6, 10, 14, 18],
        [3, 7, 11, 15, 19]])

矩阵是有用的数据结构：它们允许我们组织具有不同变化模式的数据。例如，我们矩阵中的行可能对应于不同的房屋（数据样本），而列可能对应于不同的属性。因此，尽管单个向量的默认方向是列向量，但在表示表格数据集的矩阵中，将每个数据样本作为矩阵中的行向量更为常见。

张量

张量为我们提供了描述具有任意数量轴的 n n n维数组的通用方法。

当我们开始处理图像时，张量将变得更加重要，图像以 n n n维数组形式出现，其中3个轴对应于高度、宽度以及一个通道（channel）轴，用于堆叠颜色通道（红色、绿色和蓝色）。现在，我们将跳过高阶张量，集中在基础知识上。

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)

tensor([[[0, 1, 2, 3],
         [4, 5, 6, 7],
         [8, 9, 10, 11]],
        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

张量算法的基本性质

任何按元素的一元运算都不会改变其操作数的形状。同样，给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。例如，将两个相同形状的矩阵相加会在这两个矩阵上执行元素的加法。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5,4)
B = A.clone
A, A + B

tensor([[0, 1, 2, 3],
        [4, 5, 6, 7],
        [8, 9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]]),
tensor([[0, 2, 4, 6],
        [8, 10, 12, 14],
        [16, 18, 20, 22],
        [24, 26, 28, 30],
        [32, 34, 36, 38]])

具体而言，两个矩阵按元素乘法称为哈达玛积。

A * B

tensor([[0, 1, 4, 9],
        [16, 25, 36, 49],
        [64, 81, 100, 121],
        [144, 169, 196, 225],
        [256, 289, 324, 361]])

将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。

降维

我们可以对任意张量进行一个有用的操作是计算其元素的和。在代码中，我们可以调用计算求和的函数：

x = torch.arange(4, dtype = torch.float32)
x.sum()

tensor(6)

默认的情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），我们可以在调用函数时指定axis = 0。由于输入矩阵沿着0轴降维以生成输出张量，因此输入的轴0的维数在输出形状中丢失。

A.shape

torch.Size([5, 4])

A_sum_axis0 = A.sum(axis = 0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

tensor([40, 45, 50, 55]), torch.Size([4])

指定axis = 1将通过汇总所有列的元素降维（轴1）。因此，输入的轴1的维数在输出形状中消失。

A_sum_axis1 = A.sum(axis = 1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

tensor([6, 22, 38, 54, 70]), torch.Size([5])

沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。

A.sum(axis=[0, 1])

tensor(190)

一个与求和相关的量是平均值。在代码中，我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。

A.mean()

同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。

A.mean(axis = 0)

点积

最基本的操作是点积。
给定两个向量，点积是它们相同位置的按元素乘积的和。

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

tensor([0, 1, 2, 3]), tensor([1, 1, 1, 1]), tensor(6)

矩阵-矩阵乘法

在下面的代码中，我们在A和B上执行矩阵乘法。这里的A是一个5行4列的矩阵，B是一个4行3列的矩阵。相乘后，我们得到一个5行3列的矩阵。

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)

范数

线性代数中最有用的一些运算符是范数。非正式地说，一个向量的范数告诉我们一个向量有多大。这里考虑的大小（size）概念不涉及维度，而是分量的大小。

在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数 f f f。向量范数要满足一些属性。给定任意向量 x \mathbf{x} x，第一个性质来说，如果我们按常数因子 α \alpha α缩放向量的所有元素，其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放：

第二个性质是我们熟悉的三角不等式：

第三个性质简单地说范数必须是非负的。

最后一个性质要求范数最小为0，当且仅当向量全由0组成。

u = torch.tensor([3, 4])
torch.norm(u)

u = torch.tensor([3, 4])
torch.abs(u).sum()

tensor(7)

torch.norm(torch.ones((4, 9)))

范数和目标：

在深度学习中，我们经常试图解决优化问题：最大化分配给观测数据的概率；最小化预测和真实观测之间的距离。用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。通常，目标，或许是深度学习算法最终要的组成部分（除了数据），被表达为范数。

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