计算机中数的表示

(一)二进制
电子计算机处理的信息，都是仅用“0”与“1”两个简单数字表示的信息，或者是用这种数字进行了编码的信息。这种数制叫做二进制。要了解计算机，首先要了解计算机中数的表示方法。
任何一种数制都可以用以下四个规则来描述：
基数规则；进位规则；位权规则，运算规则。这了区别不同数制表示的数，通常用右括另外的下标字母表示括号内的数制，十进制数用D表示，二进制用B表示，十六进制数用H表示。
二进制
用四个规则描述如下：二进制数只有“0”和“1”两个数字，基数是2，最大的数字是1，逢2进位，各位的权为以2为底的幂。例如，(0101101010)各位的权自至在依次为27、26、25、24、23、22、21、20。
二进制数的算术四则运算规则，除进、借位外与十进制数相同。
■二进制加法规则
0＋0=0 1＋0=1
0＋1=1 1＋1=10
■二进制减法规则
0-0=0 0-1=1-借位
1-0=1 1-1=0
■二进制乘法规则
0×0=0 1×0=0
0×1=0 1×1=1
例四：二进制数11110 101=110
110
101)11110
-)101

101
-) 101

00
二进制的优点是：
■二进制只有“0”和“1”两数字，很容易表示。电压的高和低、 晶体管的截止与饱和、磁性材料的磁化方向等都可以表示为“0”和“1”两种状态。
■二进制数的每一位只有0和1两状态,只需要两种设备就能表示, 所以二进制数节省设备。由于状态简单，所以抗干扰力强，可靠性高。
二进制的主要缺点是数位太长，不便阅读和书写，人们也不习惯。为此常用八进制和十六进制作为二进制的缩写方式。为了适应人们的习惯，通常在计算机内都采用二进制数，输入和输出采用十进制数，由计算机自己完成二进帛与十进制之间的相互转换。
0＋1=1 1＋1=10

(二)十六进制与数制间的转换
十六进制有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F共十六个数字，其中A-F表示10-15的数字，基数是16，最大数字是15用F表示，逢16进位。
十六进制数是二进制数的一种缩写方式，四位二进帛数有十六种组合，对应十进制数的0-15。二进制数转换为十六进制数的方法，从小数点开始左按四位分节，最高位和低位不足四位时，添0补足四位分节，然后用一个等值的十六进制数代换。反过来，十六进制转换成二进制的方法是：将每个十六进制数用4位二进制来书写，其最左侧或最右侧的可以省去。
十进制数转换为二进制数，通常采基数乘除法。整数部分和小数部分分别转换，最后将两部分合起来，即为所转换的二进制数。
整数部分转换用基数除法，即除以二进制数的基数2取余数，再将其商除以2取余数，重复这一过程直到商为0为止。第一次余数为二进制数的最低位，依次递增，最后一次余数为二进制数的最高位。
小数部分转换用基数乘法，即乘以基数2取整数，将余下的小数再乘以2取整数，直到所需精度为止(小数部分的转换可能出现无限循环和无限不循环的情况)。第一次整数为二进制小数的第一位，依次递减，最后的整数为二进制小数的最低位。
因为任何进制数的位权是用十进制数表示的，所以一个任何进制数都可以转化一个等价的十进制数?
(三)数制间的转换
●如何把十进制数转化为二进制、八进制
十进制数转换为二进制数规则：把十进制数用2一次次去除，直至商为0，将得到的余数从最后一次得到的余数依次读起即得，即“除2取余”。
例如：将41变换为二进制
1 0 1 0 0 1余
0125102041
即(41)D=(101001)B
十进制转换为八进制规则：类似二进制，“除八取余”。
例：41转换为八进制
51余
0541
即41转换为八进制为51。
●如何把二进制、八进制转换为十进制
二进制转化为十进制：(a1…an-1an)2
=(a1×2^(n-1)+…+an×2^0)10
八进制转化为十进制：(a1…an-1an)8
=(a1×8^(n-1)+…+an-1×8^1+an×8^0)10
例：(10001010)2=(1×2^7+0×2^6+0×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0)10=(138)10
(532)8=(5×8^2+3×8^1+2×8^0)10=(346)10
●如何使二进制、八进制相互转换
二进制八进制规则：将十进制数从低位到高位分组，每三位一组，每组可代表0到7之间的数字，依次写下各组所代表的数字即得。
例：(11001001)2=(011)(001)(001)
3 1 1
=(311)8
八进制二进制规则：将每位八进制数码分别用三位二进制数表示，并在这个0和1构成的序列去掉无用的前导0即得。
例：(5163)=(101)(001)(110)(011)=(101001110011)2