Python素数检测的方法

本文实例讲述了Python素数检测的方法。分享给大家供大家参考。具体如下:

因子检测:

检测因子,时间复杂度O(n^(1/2))

def is_prime(n):
  if n < 2:
    return False
  for i in xrange(2, int(n**0.5+1)):
    if n%i == 0:
      return False
  return True

费马小定理:

如果n是一个素数,a是小于n的任意正整数,那么a的n次方与a模n同余

实现方法:

选择一个底数(例如2),对于大整数p,如果2^(p-1)与1不是模p同余数,则p一定不是素数;否则,则p很可能是一个素数
2**(n-1)%n 不是一个容易计算的数字

模运算规则:

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

计算X^N(% P)

可以
如果N是偶数,那么X^N =(X*X)^[N/2];
如果N是奇数,那么X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];

def xn_mod_p(x, n, p):
  if n == 0:
    return 1
  res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p)
  if n&1 != 0:
    res = (res*x)%p
  return res

也可以归纳为下面的算法 两个函数是一样的

def xn_mod_p2(x, n, p):
  res = 1
  n_bin = bin(n)[2:]
  for i in range(0, len(n_bin)):
    res = res**2 % p
    if n_bin[i] == '1':
      res = res * x % p
  return res

有了模幂运算快速处理就可以实现费马检测

费马测试当给出否定结论时,是准确的,但是肯定结论有可能是错误的,对于大整数的效率很高,并且误判率随着整数的增大而降低

def fermat_test_prime(n):
  if n == 1:
    return False
  if n == 2:
    return True
  res = xn_mod_p(2, n-1, n)
  return res == 1

MILLER-RABIN检测

Miller-Rabin检测是目前应用比较广泛的一种

二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1
费马小定理:a^(p-1) ≡ 1(mod p)

这就是Miller-Rabin素性测试的方法。不断地提取指数n-1中的因子2,把n-1表示成d*2^r(其中d是一个奇数)。那么我们需要计算的东西就变成了a的d*2^r次方除以n的余数。于是,a^(d * 2^(r-1))要么等于1,要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1,定理继续适用于a^(d * 2^(r-2)),这样不断开方开下去,直到对于某个i满足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指数中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。这样,Fermat小定理加强为如下形式:

尽可能提取因子2,把n-1表示成d*2^r,如果n是一个素数,那么或者a^d mod n=1,或者存在某个i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i<r ) (注意i可以等于0,这就把a^d mod n=n-1的情况统一到后面去了)

定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k)

def miller_rabin_witness(a, p):
  if p == 1:
    return False
  if p == 2:
    return True
  #p-1 = u*2^t 求解 u, t
  n = p - 1
  t = int(math.floor(math.log(n, 2)))
  u = 1
  while t > 0:
    u = n / 2**t
    if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1:
      break
    t = t - 1
  b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)
  for i in range(1, t + 1):
    b2 = b1**2 % p
    if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1):
      return False
    b1 = b2
  if b1 != 1:
    return False
  return True
def prime_test_miller_rabin(p, k):
  while k > 0:
    a = randint(1, p - 1)
    if not miller_rabin_witness(a, p):
      return False
    k = k - 1
  return True

希望本文所述对大家的Python程序设计有所帮助。

(0)

相关推荐

  • Python两个整数相除得到浮点数值的方法

    在python中进行两个整数相除的时候,在默认情况下都是只能够得到整数的值,而在需要进行对除所得的结果进行精确地求值时,想在运算后即得到浮点值,那么如何进行处理呢? 1.修改被除数的值为带小数点的形式即可得到浮点值,这种方法在被除数事先知道的情况下才可以采用有效,而这种情况意味着被除数的值是写死的.固定的,在绝大多数的情况下是不可行的: 2.在进行除法运算前导入一个实除法的模块,即可在两个整数进行相除的时候得到浮点的结果; 复制代码 代码如下: from __future__ import di

  • python将ip地址转换成整数的方法

    本文实例讲述了python将ip地址转换成整数的方法.分享给大家供大家参考.具体分析如下: 有时候我们用数据库存储ip地址时可以将ip地址转换成整数存储,整数占用空间小,索引也会比较方便,下面的python代码自定义了一个ip转换成整数的函数,非常简单,代码同时还提供了整数转换成ip地址的方法. import socket, struct def ip2long(ip): """ Convert an IP string to long """

  • 使用Python判断质数(素数)的简单方法讲解

    质数又称素数.指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数.素数在数论中有着很重要的地位.比1大但不是素数的数称为合数.1和0既非素数也非合数.质数是与合数相对立的两个概念,二者构成了数论当中最基础的定义之一.基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题,如哥德巴赫猜想等.算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积,并且这种乘积的形式是唯一的.这个定理的重要一点是,将1排斥在素数集合以外.如果1被认为是素数,那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条

  • Python实现高效求解素数代码实例

    素数是编程中经常需要用到的. 作为学习Python的示例,下面是一个高效求解一个范围内的素数的程序,不需要使用除法或者求模运算. #coding:utf-8 #设置python文件的编码为utf-8,这样就可以写入中文注释 def primeRange(n): myArray=[1 for x in range(n+1)] ##列表解析,生成长度为(n+1)的列表,每个数值都为1 myArray[0]=0 myArray[1]=0 startPos=2 while startPos <= n:

  • Python编程判断一个正整数是否为素数的方法

    本文实例讲述了Python编程判断一个正整数是否为素数的方法.分享给大家供大家参考,具体如下: import string import math #判断是否素数的函数 def isPrime(n): if(n<2): return False; elif(n==2): return True; elif(n>2): for d in range(2,int(math.ceil(math.sqrt(n))+1)): if(n%d==0): return False; return True;

  • Python素数检测实例分析

    本文实例讲述了Python素数检测的方法.分享给大家供大家参考.具体如下: 该程序实现了素数检测器功能,如果结果是true,则是素数,如果结果是false,则不是素数. def fnPrime(n): for i in range(2,n,1): if(n % i == 0): return bool(0) return bool(1) 希望本文所述对大家的Python程序设计有所帮助.

  • python里对list中的整数求平均并排序

    问题 定义一个int型的一维数组,包含40个元素,用来存储每个学员的成绩,循环产生40个0~100之间的随机整数, (1)将它们存储到一维数组中,然后统计成绩低于平均分的学员的人数,并输出出来. (2)将这40个成绩按照从高到低的顺序输出出来. 解决(python) #! /usr/bin python #coding:utf-8 from __future__ import division #实现精确的除法,例如4/3=1.333333 import random def make_scor

  • Python基于二分查找实现求整数平方根的方法

    本文实例讲述了Python基于二分查找实现求整数平方根的方法.分享给大家供大家参考,具体如下: x=int(raw_input('please input a int:')) if x<0: retrun -1 low=0 high=x ans=(low+high)/2.0 sign=ans while ans**2 !=x: if ans**2>x: high=ans else: low=ans ans=(low+high)/2.0 if sign==ans: break print ans

  • python里大整数相乘相关技巧指南

    问题 大整数相乘 思路说明 对于大整数计算,一般都要用某种方法转化,否则会溢出.但是python无此担忧了. Python支持"无限精度"的整数,一般情况下不用考虑整数溢出的问题,而且Python Int类型与任意精度的Long整数类可以无缝转换,超过Int 范围的情况都将转换成Long类型. 例如: >>> 2899887676637907866*1788778992788348277389943 5187258157415700236034169791337062

  • python求素数示例分享

    复制代码 代码如下: # 判断是否是素数def is_sushu(num): res=True for x in range(2,num-1):  if num%x==0:   res=False   return res return res # 打印出素数列表print ([x for x in range(1000) if is_sushu(x)])

  • Python实现求最大公约数及判断素数的方法

    本文实例讲述了Python实现求最大公约数及判断素数的方法.分享给大家供大家参考.具体实现方法如下: #!/usr/bin/env python def showMaxFactor(num): count = num / 2 while count > 1: if num % count == 0: print 'largest factor of %d is %d' % (num, count) break #break跳出时会跳出下面的else语句 count -= 1 else: prin

随机推荐