C语言实现牛顿迭代法解方程详解

2024-09-28 01:46:33

C语言实现牛顿迭代法解方程详解

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，我们可以确定至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

接下来，我介绍一种迭代算法的典型案例----牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法

牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法，又称牛顿迭代法，也称牛顿切线法：先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根，由x0求出f(x0),过(x0，f(x0))点做f(x)的切线，交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f(x1),过(x1，f(x1))点做f(x)的切线，交x轴于x2，……如此继续下去，直到足够接近（比如|x- x0|<1e-6时）真正的根x*为止。

而f '(x0)=f(x0)/( x1- x0)

所以 x1= x0- f(x0)/ f ' (x0)。

我们来看一副从网上找到的图:

接下来，我们来看一个例子:

我们还是直接上代码:

例子:用牛顿迭代法求下列方程在值等于2.0附近的根：2x3-4x2+3x-6=0。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(void)
{
  float x,x0,f,f1;
  x = 2.0;
  do{
      x0=x;
      f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
      f1=6*x0*x0-8*x0+3;
      x=x0-f/f1;
  //函数fabs：求浮点数x的绝对值
  //说明：计算|x|, 当x不为负时返回 x，否则返回 -x
  }while(fabs(x-x0)>=1e-5);
   printf ("%f\n",x);
  return 0 ;
 }

执行结果:

当x=1.5时，方程2x3-4x2+3x-6=0。附近的根为2.000000 。

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