细说NumPy数组的四种乘法的使用

当孔乙己说回字有四样写法的时候，相信各位都是这样的表情吧？

但是，如果孔乙己说NumPy数组有四种乘法的时候，各位大约就是这样的表情了吧？

实际上，NumPy数组乘法远不止四种。为了在写作和阅读时保持清晰的逻辑和清醒的头脑，本文仅对四种最常见的数组乘法给出详细说明，并用一道数学题来演示向量点乘和叉乘的用法。

1. 星乘（*）

先声明一下：星乘这个说法，是我自己创造的，因为我实在不知道数组的这种乘法有没有其他高大上的名字，只好用运算符来表示了。所谓数组星乘，就是数组的对应元素相乘，这也是初学NumPy的同学最早接触到的数组乘法。

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([1,2,3])
>>> b = np.array([4,5,6])
>>> a*b
array([ 4, 10, 18])

对于多维数组，星乘的规则也是一样。

>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))
>>> b = np.arange(6,12).reshape((2,3))
>>> a
array([[0, 1, 2],
    [3, 4, 5]])
>>> b
array([[ 6, 7, 8],
    [ 9, 10, 11]])
>>> a*b
array([[ 0, 7, 16],
    [27, 40, 55]])

即使两个数组的shape不一样，只要满足特定条件，同样可以用星号相乘，且满足交换律。

>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))
>>> b = np.array([1,2,3])
>>> a
array([[0, 1, 2],
    [3, 4, 5]])
>>> b
array([1, 2, 3])
>>> a*b
array([[ 0, 2, 6],
    [ 3, 8, 15]])
>>> b*a
array([[ 0, 2, 6],
    [ 3, 8, 15]])

2. 点乘（np.dot）

在数学上，向量点乘就是两个向量的对应位相乘后求和，因此向量点乘得到的是标量。

向量点乘的几何意义是两个向量的模之积再乘以二者夹角的余弦值。这意味着，如果两个向量互相垂直，则其点积为零。反过来说，两个不为零的向量的点积等于零，则两个向量垂直。

numpy.dot()函数提供了点乘运算。对于一维数组，NumPy的点乘就是向量点乘，其结果是一个标量。对于多维数组，则需要满足一定条件才能实现点乘，且其结果不再是标量，而是一个多维数组。比如，NumPy的矩阵相乘，就是二维数组的点乘，参与点乘的第一个数组的列数必须等于第二个数组的行数。

>>> a = np.array([1,0,0])
>>> b = np.array([0,1,0])
>>> np.dot(a,b) # 向量a和向量b相互垂直，其点积为0
0
>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))
>>> b = np.arange(6,18).reshape((3,4))
>>> np.dot(a,b) # 满足点乘条件
array([[ 38, 41, 44, 47],
    [128, 140, 152, 164]])
>>> np.dot(b,a) # 不满足点乘条件
Traceback (most recent call last):
 File "<pyshell#38>", line 1, in <module>
  np.dot(b,a)
 File "<__array_function__ internals>", line 6, in dot
ValueError: shapes (3,4) and (2,3) not aligned: 4 (dim 1) != 2 (dim 0)

3. 叉乘（np.cross）

在百度和知乎上，有很多人说叉积就是外积，也有人提出不同意见。我在这里仅使用叉乘或叉积等确定无误的概念，以免误人子弟。在数学上，二维平面的向量叉乘，其结果是以两个向量为边的菱形的面积，三维空间的向量叉乘，其结果是仍然是一个向量，且垂直于相乘的两个向量，也就是参与相乘的两个向量决定的平面的法向量。nunpy.cross()函数可以实现向量（一维数组）叉乘，也可以实现二维或三维数组的叉乘。

>>> a = np.array([2,0])
>>> b = np.array([2,2])
>>> np.cross(a,b) # 平面向量叉乘，其结果是以两个向量为边的菱形的面积
array(4)
>>> a = np.array([1,0,0])
>>> b = np.array([0,1,0])
>>> np.cross(a,b) # x轴叉乘y轴，得到z轴
array([0, 0, 1])
>>> np.cross(b,a) # 叉乘交换顺序，得到反向的法向量
array([ 0, 0, -1])

4. 外乘（np.outer）

这里的外乘，类似于星乘，并不是通用的概念，也是我自己编造的一个说法，来源于numpy.outer()函数。从字面看，outer()函数更像是求外积，但从实际效果看，更像是笛卡尔直积，因此我这里用了“外乘”而不是“外积”。那么，outer()函数究竟能作什么呢？

>>> a = np.array([1,2,3])
>>> b = np.array([4,5,6,7])
>>> np.outer(a,b)
array([[ 4, 5, 6, 7],
    [ 8, 10, 12, 14],
    [12, 15, 18, 21]])

数组A外乘数组B，返回一个二维数组，这个二维数组的第i行是数组A的第i个元素星乘数组B。

5. 判断两条直线是否相交

假设abcd是欧氏空间中不重合的四个点，如何判断过点ab的直线和过点cd的直线是否相交？如果使用空间解析几何的方式来解决问题，对于一般程序员来说将是一个难题。不过，如果你熟悉NumPy，理解点积(np.dot)和叉积(np.cross)的话，解决这个问题就变得非常容易了。具体思路是这样的：

计算向量ab和向量cd的叉积，得到向量orth如果orth的每一个元素都是零，则表示直线ab平行于直线cd，二者不可能相交；否则，orth就同时垂直于向量ab和向量cd计算向量orth和向量ac的点积，得到标量dp如果dp为零，表示向量orth垂直于向量ac，此时直线ab和直线cd在同一个平面上，且一定相交于某点

以上思路写成代码如下。

>>> a = np.array([1,2,3])
>>> b = np.array([4,5,6,7])
>>> np.outer(a,b)
array([[ 4, 5, 6, 7],
    [ 8, 10, 12, 14],
    [12, 15, 18, 21]])

到此这篇关于细说NumPy数组的四种乘法的使用的文章就介绍到这了,更多相关NumPy数组乘法内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！