C++ 超详细分析数据结构中的时间复杂度

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• 什么是时间复杂度和空间复杂度
• 如何计算时间复杂度和空间复杂度
• 如何计算时间复杂度和空间复杂度

别别着急划走哈，如果你跟我一样是大学生，那么你发现了一个宝藏！我们往后看-->

什么是时间复杂度和空间复杂度

要想了解时间复杂度和空间复杂度，我们得知道什么是时间复杂度和空间复杂度！

有的人看到这就明白了，而有的人却去追求它的内涵：

见名知意嘛，时间复杂度不就是表示一个算法运行完所需要的时间？这还用问？错错错！

我来举一个很简单的例子：你家隔壁老王买了一台 i9 12900k 和 RTX3080Ti 整个64GB的内存，你眼瞅着你 4G的内存，洋垃圾的处理器，打开个PS都要冒烟的那种，来来来，你跟我说说能比吗？

所以简单来说，时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，在计算机科学中，算法的时间复杂度其实是一个函数，他定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间。从理论上来说，是不能被算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来才能知道，但是我们不需要每个算法都上机测试，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

我们再来看空间复杂度-->

有了上面的案例，我们要做一个有内涵的程序猿，空间复杂度绝不是一个程序占用了多少bytes的空间！

空间复杂度是用来衡量一个算法所需的额外空间！我们早期的计算机容量很小，在那个时候对空间复杂可谓是很在乎，但是现在随着计算机的发展，现在我们都是在用空间换时间，所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度！

简单做个总结:时间复杂度算的是基本操作的执行次数，空间复杂度算的是变量的个数！

有的小伙伴看到这蛮开心，懂了。 但是不着急，我们下面来看如何计算常见的空间复杂度和时间复杂度！

如何计算时间复杂度和空间复杂度

我们直接上代码！

// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

算Func1执行了多少次？由上面讲的可知，要我们算的就是时间复杂度！

我们可以看到第一个大for循环执行次数是N²次，第二个for循环执行次数是2*N次，下面while 循环M是等于10的，所以会执行10次，由此可见 F(N) = N² + 2 * N + 10

但是实际中我们计算时间复杂度时，我们并不需要计算准确的执行次数，只需要大概执行次数，这里我们用大O的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶的方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N²)

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

比如：在一个长度为N数组中搜索一个数据 x

最好情况：一次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

我们在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况！，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

我们接着上代码！

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

由上边可知，空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

据题意我们可知，形参*a， n 函数内部创建了变量 end， i， exchange使用了5个额外空间，所以根据推导大O阶的方法可知空间复杂度为O(1)。

下面给大家总结下复杂度对比的图：

如何计算时间复杂度和空间复杂度

相信看完上边的小伙伴们已经按耐不住想要写代码了，接下来我们来看两道有复杂度要求的算法题练习题，相信你听我分析完会竖起大拇指说：妙啊！

话不多说直接上题目！！！

题目1：数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗？

题目来源:面试题 17.04. 消失的数字 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

输入：[9,6,4,2,3,5,7,0,1]
输出：8

思路1：先排序 -> 0 1 2 3 4 5 6  8 9   然后直接遍历，判断后一个数是不是比前一个数大1，就直    接找到了！但是！时间复杂度不符合题目要求，最快的排序 O(N*logN)

思路2：把0~N的数加起来结果是ret1,再把数组中的数加起来是ret2，ret1-ret2就是我们要找的数!

思路3：异或 - 数组中的数依次跟0~N的有所数异或，最后剩下的数据就是缺的那个数字！

最后我们来实现这道题的代码：

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
	int x = 0;
	//先跟数组中的值异或
	for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
	{
		x ^= nums[i];
	}
	//再跟[0, N]之间的数异或
	for (int j = 0; j < numsSize + 1; ++j)
	{
		x ^= j;
	}
	return x;
}

看到这先别说妙，我们接着看下一道题！

题目2：给你一个数组，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

你可以使用空间复杂度为 O(1) 的 原地 算法解决这个问题吗？

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3

输出: [5,6,7,1,2,3,4]

解释:

向右轮转 1 步: [7,1,2,3,4,5,6]

向右轮转 2 步: [6,7,1,2,3,4,5]

向右轮转 3 步: [5,6,7,1,2,3,4]

题目来源:189. 轮转数组 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

思路1： 旋转k次，先把数组nums最后一个元素放到一个临时变量tmp，然后从倒数第二个元素往后移动，再把 tmp 存的最后一个元素的值赋给数组nums[0]。缺陷：效率低，时间复杂度为O(N*K)

思路2：用空间换时间，开辟一个跟nums一样大的数组出来，先把后k个放到新数组，再把前k个接着放入新数组，时间复杂度为O(N)，但是空间复杂度为O(N)，不符合题意！

思路3：后k个逆置，前n-k个逆置，再整体逆置！

最后我们来实现这道题的代码：

void Revers(int* nums, int left, int right)
{
	while (left < right)
	{
		int tmp = nums[left];
		nums[left] = nums[right];
		nums[right] = tmp;
		++left;
		--right;
	}
}

void rotat(int* nums, int numsSize, int k)
{
	if (k >= numsSize)
	{
		k %= numsSize;
	}
	Revers(nums, numsSize - k, numsSize - 1);
	Revers(nums, 0, numsSize - k - 1);
	Revers(nums, 0, numsSize- 1);
}

完结撒花！！！！

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