Prim(普里姆)算法求最小生成树的思想及C语言实例讲解

2024-09-27 16:44:19

Prim 算法思想：
从任意一顶点 v0 开始选择其最近顶点 v1 构成树 T1，再连接与 T1 最近顶点 v2 构成树 T2，如此重复直到所有顶点均在所构成树中为止。
最小生成树（MST）：权值最小的生成树。
生成树和最小生成树的应用：要连通n个城市需要n－1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其造价最小的生成树。
构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：
1、尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；
2、选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；
MST性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
prim算法假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：
在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。
此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。
注意：prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。
举个简单的例子来说明具体的实现方法：

G:图，用邻接矩阵表示
vcount:表示图的顶点个数
max_vertexes:图最大节点数
infinity:为无穷大
数组存储从0开始
由于最小生成树包含每个顶点，那么顶点的选中与否就可以直接用一个数组来标记used[max_vertexes];（我们这里直接使用程序代码中的变量定义，这样也易于理解）；当选中一个数组的时候那么就标记，现在就有一个问题，怎么来选择最小权值边，注意这里最小权值边是有限制的，边的一个顶点一定在已选顶点中，另一个顶点当然就是在未选顶点集合中了。我最初的一个想法就是穷搜了，就是在一个集合中选择一个顶点，来查找到另一个集合中的最小值，这样虽然很易于理解，但是很明显效率不是很高，在严蔚敏的《数据结构》上提供了一种比较好的方法来解决：设置两个辅助数组lowcost[max_vertexes]和closeset[max_vertexes]，lowcost[max_vertexes]数组记录从U到V－U具有最小代价的边。对于每个顶点v∈V－U,closedge[v], closeset[max_vertexes]记录了该边依附的在U中的顶点。

Prim 算法步骤：
T0 存放生成树的边，初值为空
输入加权图的带权邻接矩阵 C = (Cij)n×n (两点间无边相连则其大小为无穷)
为每个顶点 v 添加一属性 L(v) ：表 v 到 T0 的最小直接距离
（1) T0←∅, V1={v0}, C(T0)=0
（2) 对任意v ∈ V，L(v)←C(v, v0)
（3) If V==V1 then stop else goto next.
（4) 在 V-V1 中找点 u 使 L(u) =min{ L(v) | v ∈ (V − V1 )},记 V1 中与 u 相邻点为 w.
（5) T0←T0∪{(u, w)}, C(T0) ←C(T0)+C(u, w), V1←V1∪{u}
（6) 对任意v ∈ (V − V1 ) if C(v, u)<L(v) then L(v) = C(v, u) else L(v)不变。
（7) Go to 3.

C++实现示例
prim.txt中的内容:

程序代码：

#include<stdo.h>
#include<string.h>
#include <stdlib.h>

#define infinity 1000000 //  定义两个不直接相邻一步到达顶点的距离
#define max_vertexes 6 //  定义图形中顶点的个数

typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes];// 边上的权值

void prim(Graph G,int vcount,int father[])
{
  int i,j,k;
  int lowcost[max_vertexes];//最小代价边上的权值
  int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];//依附在U中的顶点；标记是否已被选中
  int min;
  int result=0;//记录最短距离权值的和

  for (i=0;i<vcoun;k++)  //初始化所有数组，把最短距离初始化为其他顶点到1结点的距离
  {
      lowcost[i]=G[0][i];
      closeset[i]=0;
   used[i]=0;
   father[i]=-1;
  }
  used[0]=1;

  for (i=1;i<=vcount-1;i++)
  {
   j=0;
    min = infinity;

   for (k=1;k<count;k++) //for循环得到离结点最近的顶点j
   if ((!used[k])&&(lowcost[k]
   {
    min = lowcost[k];
    j=k;
   }
   father[j]=closeset[j];
   printf("%d %d\n",j+1,father[j]+1);//输出当前找到的结点，该顶点依附的上一个结点
   result=result+G[j][closeset[j]];
   used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中
   for (k=1;k

   if (!used[k]&&(G[j][k]保留到k的最短路径

    {
      lowcost[k]=G[j][k];
      closeset[k]=j;
    }
  }
  printf("%d",result);
}

int main()
{
  FILE *fr;
  int i,j,weight;
  Graph G;
  int fatheer[max_vertexes];
  for(i=0; i<max_vertexes;i++)
  for(j=0; j<max_vertexer;i++)
  G[i][j] = infinity;
  fr = fopen("prim.txt","r");
  if(!fr)
  {
   printf("fopen failed\n");
   exit(1);
  }
  while(fscanf(fr,"%d%d%d", &i, &j, &weight) != EOF)
  {
   G[i-1][j-1] = weight;
   G[j-1][i-1] = weight;
  }

  prim(G,max_vertexes,fatheer);
  return 0;

}

测试的结果如下：

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