python素数筛选法浅析

原理：

　　素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。在加密应用中起重要的位置，比如广为人知的RSA算法中，就是基于大整数的因式分解难题，寻找两个超大的素数然后相乘作为密钥的。一个比较常见的求素数的办法是埃拉托斯特尼筛法(the Sieve of Eratosthenes) ，说简单一点就是画表格，然后删表格，如图所示：

　　从2开始依次往后面数，如果当前数字一个素数，那么就将所有其倍数的数从表中删除或者标记，然后最终得到所有的素数。

有一个优化：

标记2和3的倍数的时候，6被标记了两次。所以从i的平方开始标记，减少很多时间。

比如3的倍数从9开始标记，而不是6，并且每次加6。

除了2以外，所有素数都是奇数。奇数的平方还是奇数，如果再加上奇数就变成了偶数一定不会是素数，所以加偶数(2倍素数)。

预先处理了所有偶数。

注意：1既不是素数也不是合数，这里没有处理1。

#! prime.py
import time 

def primes(n):
 P = []
 f = []
 for i in range(n+1):
  if i > 2 and i%2 == 0:
   f.append(1)
  else:
   f.append(0) 

 i = 3
 while i*i <= n:
  if f[i] == 0:
   j = i*i
   while j <= n:
    f[j] = 1
    j += i+i
  i += 2 

 P.append(2)
 for i in range(3,n,2):
  if f[i] == 0:
   P.append(i) 

 return P 

def isPrime(n):
 if n > 2 and n%2 == 0:
  return 0 

 i = 3
 while i*i <= n:
  if n%i == 0:
   return 0
  i += 2 

 return 1 

def primeCnt(n):
 cnt = 0
 for i in range(2,n):
  if isPrime(i):
   cnt += 1
 return cnt 

if __name__ == '__main__':
 start = time.clock()
 n = 10000000
 P = primes(n);
 print("There are %d primes less than %d"%(len(P),n))
 #for i in range(10):
 # print(P[i])
 print("Time: %f"%(time.clock()-start))
 #for n in range(2,100000):
 # if isPrime(n):
 #  print("%d is prime"%n)
  #print("%d is "%n + ("prime" if isPrime(n) else "not prime")) 

 start = time.clock()
 n = 1000000
 print("There are %d primes less than %d"%(primeCnt(n),n))
 print("Time: %f"%(time.clock()-start) 

用素数筛选法求1千万以内的素数用了5.767s，

普通素数判断法求1百万以内的素数用了9.642s，

用C++素数筛选法求1亿以内的素数用了0.948s，

用C++普通素数判断法求1千万以内的素数用了3.965s，

可见解释语言确实比编译语言慢很多。

附C++程序，用了位压缩优化空间

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100000001 

unsigned f[(N>>5)+5];
int p[5761456],m;
void init()
{
  int i,j;
  for(i=4;i<N;i+=2)
    f[i>>5]|=1<<(i&0x1F);
  p[m++]=2;
  for(i=3;i*i<N;i+=2)
    if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))
    {
      p[m++]=i;
      for(j=i*i;j<N;j+=i+i)
        f[j>>5]|=1<<(j&0x1F);
    }
  for(;i<N;i+=2)
    if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))
      p[m++]=i;
}
int is_prime(int n)
{
  int i;
  for(i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)
    if(n%p[i]==0)
      return 0;
  return 1;
}
int isPrime(int n)
{
  if(n>2 && n%2==0)
    return 0;
  int i=3;
  while(i*i<=n)
  {
    if(n%i==0)
      return 0;
    i+=2;
  }
  return 1;
}
int main()
{
  int n=0,i;
  clock_t st=clock();
  init();
  /*for(i=2;i<10000000;i++)
    if(isPrime(i))
      n++;*/
  printf("%d %dms\n",m,clock()-st);
  /*while(~scanf("%d",&n),n)
  {
    i=lower_bound(p,p+m,n+1)-p;
    printf("%d\n",i);
  }*/
  return 0;
} 

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持我们。

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