理解二叉堆数据结构及Swift的堆排序算法实现示例

二叉堆的性质
1.二叉堆是一颗完全二叉树，最后一层的叶子从左到右排列，其它的每一层都是满的
2.最小堆父结点小于等于其每一个子结点的键值，最大堆则相反
3.每个结点的左子树或者右子树都是一个二叉堆
下面是一个最小堆：

堆的存储
通常堆是通过一维数组来实现的。在起始数组为 0 的情形中：
1.父节点i的左子节点在位置 (2*i+1);
2.父节点i的右子节点在位置 (2*i+2);
3.子节点i的父节点在位置 floor((i-1)/2);

维持堆的性质
我们以最大堆来介绍（后续会分别给出最大堆和最小堆的实现）.所谓维持堆得性质就是字面意思，也就是确保叶子节点和父节点的关系是堆得关系； 那么怎么维持呢？

这里我们是以某一个节点为起始点，调整其自身与子节点的关系，使得父节点总是大于子节点，处理完毕后递归操作调整后的节点；
我们来看一下具体的实现：

/**
* 维护最大堆的性质
*/
func heapify(inout A:[Int], i:Int, size:Int) {
 var l = 2 * i
 var r = l + 1
  var largest = i

 if l < size && A[l] > A[i] {
 largest = l
 }
  if r < size && A[r] > A[largest] {
    largest = r
  }
  if largest != i {
    swap(&A, i, largest)
    heapify(&A, largest, size)
  }
}

有效代码也就10行上下， 简单解释下，根据传入的节点在数组内的索引，计算出左右子节点，然后比较比较子节点的值大小，将大的值对调为父节点的值，最后递归处理新节点；

构建堆
现在来看第二步，也就是构建一个堆。我们的输入数据源是一个以为数组，需要通过构建，将其以堆的性质加以调整； 我们来看一下具体的实现：

/**
* 构建最大堆
*/
func buildHeap(inout A:[Int]) {
  for var i = A.count/2; i >= 0; i-- {
    heapify(&A, i, A.count)
  }
  println("build heap:\(A)")
}

简单解释下，根据上一步已经得到的维护堆性质的函数，我们队数组内的所有非叶子节点遍历，针对每个节点都做一遍堆处理，最后得到的就是一个完整的堆； 可能不理解的骚年会问了，为什么数组遍历不是全量的，而是[A.count/2, 0]?
这个问题，我想最好的的答案是你画一个二叉树，一眼就能明白，这棵树中非叶子节点的索引就是count/2;

堆排序

现在重温一下，这个经典的堆排序是怎么实现的。
以算法导论中对堆排序的介绍，可以简单的归结为三句话：
1.维持堆的性质
2.构建堆
3.堆排序
好，终于到了见证奇迹的时刻，我们把数组排个序输出一下。

/**
*堆排序
*/
func heapSort(inout A:[Int]) {
  buildHeap(&A)
  var size = A.count
  for var i = A.count - 1; i >= 1; i-- {
    swap(&A, i, 0)
    size--
    heapify(&A, 0, size)
  }
  println("sorted heap:\(A)")
}

这里呢，需要注意的地方就是每次得到最大值后，我们需要把问题的解规模减小，因为我们是原址排序，实际上是把一维数组分为了未排序的堆和已排序的数组两部分，已排序的部分放在数组尾部；

验证一下
随便搞个数组，我们排个队

var A = [4, 1, 3, 2, 16, 9,9, 10, 14, 8, 7]
heapSort(&A)
avens-MacBook-Pro:aven$ ./max-heap-sort.swift
build heap:[16, 14, 9, 10, 8, 7, 9, 2, 3, 1, 4]
sorted heap:[1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 9, 10, 14, 16]

小结
上面我们已经完成了最大堆的算法的编码，最小堆也是类似的； 算法这东西如果能理解的话写起来就不太难，所以一定要对理论有所了解，真正理解了算法思路才能吧思路写成代码。