JavaScript解八皇后问题的方法总结

关于八皇后问题的 JavaScript 解法，总觉得是需要学习一下算法的，哪天要用到的时候发现真不会就尴尬了

背景
八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上

八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为 n×n ，而皇后个数也变成n 。当且仅当n = 1或n ≥ 4时问题有解

盲目的枚举算法
通过N重循环，枚举满足约束条件的解（八重循环代码好多，这里进行四重循环），找到四个皇后的所有可能位置，然后再整个棋盘里判断这四个皇后是否会直接吃掉彼此，程序思想比较简单

function check1(arr, n) {
  for(var i = 0; i < n; i++) {
    for(var j = i + 1; j < n; j++) {
      if((arr[i] == arr[j]) || Math.abs(arr[i] - arr[j]) == j - i) {
        return false;
      }
    }
  }
  return true;
}
function queen1() {
  var arr = [];

  for(arr[0] = 1; arr[0] <= 4; arr[0]++) {
    for(arr[1] = 1; arr[1] <= 4; arr[1]++) {
      for(arr[2] = 1; arr[2] <= 4; arr[2]++) {
        for(arr[3] = 1; arr[3] <= 4; arr[3]++) {
          if(!check1(arr, 4)) {
            continue;
          } else {
            console.log(arr);
          }
        }
      }
    }
  }
}

queen1();
//[ 2, 4, 1, 3 ]
//[ 3, 1, 4, 2 ]

关于结果，在 4*4 的棋盘里，四个皇后都不可能是在一排， arr[0] 到 arr[3] 分别对应四个皇后，数组的下标与下标对应的值即皇后在棋盘中的位置

回溯法
『走不通，就回头』，在适当节点判断是否符合，不符合就不再进行这条支路上的探索

function check2(arr, n) {
  for(var i = 0; i <= n - 1; i++) {
    if((Math.abs(arr[i] - arr[n]) == n - i) || (arr[i] == arr[n])) {
      return false;
    }
  }
  return true;
}

function queen2() {
  var arr = [];

  for(arr[0] = 1; arr[0] <= 4; arr[0]++) {
    for(arr[1] = 1; arr[1] <= 4; arr[1]++) {
      if(!check2(arr, 1)) continue; //摆两个皇后产生冲突的情况
      for(arr[2] = 1; arr[2] <= 4; arr[2]++) {
        if(!check2(arr, 2)) continue; //摆三个皇后产生冲突的情况
        for(arr[3] = 1; arr[3] <= 4; arr[3]++) {
          if(!check2(arr, 3)) {
            continue;
          } else {
            console.log(arr);
          }
        }
      }
    }
  }
}

queen2();
//[ 2, 4, 1, 3 ]
//[ 3, 1, 4, 2 ]

非递归回溯法
算法框架：

while(k > 0 『有路可走』 and 『未达到目标』) { // k > 0 有路可走
  if(k > n) { // 搜索到叶子节点
    // 搜索到一个解，输出
  } else {
    //a[k]第一个可能的值
    while(『a[k]在不满足约束条件且在搜索空间内』) {
      // a[k]下一个可能的值
    }
    if(『a[k]在搜索空间内』) {
      // 标示占用的资源
      // k = k + 1;
    } else {
      // 清理所占的状态空间
      // k = k - 1;
    }
  }
}

具体代码如下，最外层while下面包含两部分，一部分是对当前皇后可能值的遍历，另一部分是决定是进入下一层还是回溯上一层

function backdate(n) {
  var arr = [];

  var k = 1; // 第n的皇后
  arr[0] = 1;

  while(k > 0) {

    arr[k-1] = arr[k-1] + 1;
    while((arr[k-1] <= n) && (!check2(arr, k-1))) {
      arr[k-1] = arr[k-1] + 1;
    }
    // 这个皇后满足了约束条件，进行下一步判断

    if(arr[k-1] <= n) {
      if(k == n) { // 第n个皇后
        console.log(arr);
      } else {
        k = k + 1; // 下一个皇后
        arr[k-1] = 0;
      }
    } else {
      k = k - 1; // 回溯，上一个皇后
    }
  }
}

backdate(4);
//[ 2, 4, 1, 3 ]
//[ 3, 1, 4, 2 ]

递归回溯法
递归调用大大减少了代码量，也增加了程序的可读性

var arr = [], n = 4;
function backtrack(k) {
  if(k > n) {
    console.log(arr);
  } else {
    for(var i = 1;i <= n; i++) {
      arr[k-1] = i;
      if(check2(arr, k-1)) {
        backtrack(k + 1);
      }
    }
  }
}

backtrack(1);
//[ 2, 4, 1, 3 ]
//[ 3, 1, 4, 2 ]

华而不实的amb
什么是 amb ？给它一个数据列表，它能返回满足约束条件的成功情况的一种方式，没有成功情况就会失败，当然，它可以返回所有的成功情况。笔者写了上面那么多的重点，就是为了在这里推荐这个amb算法，它适合处理简单的回溯场景，很有趣，让我们来看看它是怎么工作的

首先来处理一个小问题，寻找相邻字符串：拿到几组字符串数组，每个数组拿出一个字符串，前一个字符串的末位字符与后一个字符串的首位字符相同，满足条件则输出这组新取出来的字符串

ambRun(function(amb, fail) {

  // 约束条件方法
  function linked(s1, s2) {
    return s1.slice(-1) == s2.slice(0, 1);
  }

  // 注入数据列表
  var w1 = amb(["the", "that", "a"]);
  var w2 = amb(["frog", "elephant", "thing"]);
  var w3 = amb(["walked", "treaded", "grows"]);
  var w4 = amb(["slowly", "quickly"]);

  // 执行程序
  if (!(linked(w1, w2) && linked(w2, w3) && linked(w3, w4))) fail();

  console.log([w1, w2, w3, w4].join(' '));
  // "that thing grows slowly"
});

看起来超级简洁有没有！不过使用的前提是，你不在乎性能，它真的是很浪费时间！

下面是它的 javascript 实现，有兴趣可以研究研究它是怎么把回溯抽出来的

function ambRun(func) {
  var choices = [];
  var index;

  function amb(values) {
    if (values.length == 0) {
      fail();
    }
    if (index == choices.length) {
      choices.push({i: 0,
        count: values.length});
    }
    var choice = choices[index++];
    return values[choice.i];
  }

  function fail() { throw fail; }

  while (true) {
    try {
      index = 0;
      return func(amb, fail);
    } catch (e) {
      if (e != fail) {
        throw e;
      }
      var choice;

      while ((choice = choices.pop()) && ++choice.i == choice.count) {}
      if (choice == undefined) {
        return undefined;
      }
      choices.push(choice);
    }
  }
}

以及使用 amb 实现的八皇后问题的具体代码

ambRun(function(amb, fail){
  var N = 4;
  var arr = [];
  var turn = [];
  for(var n = 0; n < N; n++) {
    turn[turn.length] = n + 1;
  }
  while(n--) {
    arr[arr.length] = amb(turn);
  }
  for (var i = 0; i < N; ++i) {
    for (var j = i + 1; j < N; ++j) {
      var a = arr[i], b = arr[j];
      if (a == b || Math.abs(a - b) == j - i) fail();
    }
  }
  console.log(arr);
  fail();
});

八皇后问题的JavaScript解法
这是八皇后问题的JavaScript解法，整个程序都没用for循环，都是靠递归来实现的，充分运用了Array对象的map, reduce, filter, concat, slice方法

'use strict';
var queens = function (boarderSize) {
 // 用递归生成一个start到end的Array
 var interval = function (start, end) {
  if (start > end) { return []; }
  return interval(start, end - 1).concat(end);
 };
 // 检查一个组合是否有效
 var isValid = function (queenCol) {
  // 检查两个位置是否有冲突
  var isSafe = function (pointA, pointB) {
   var slope = (pointA.row - pointB.row) / (pointA.col - pointB.col);
   if ((0 === slope) || (1 === slope) || (-1 === slope)) { return false; }
   return true;
  };
  var len = queenCol.length;
  var pointToCompare = {
   row: queenCol[len - 1],
   col: len
  };
  // 先slice出除了最后一列的数组，然后依次测试每列的点和待测点是否有冲突，最后合并测试结果
  return queenCol
   .slice(0, len - 1)
   .map(function (row, index) {
    return isSafe({row: row, col: index + 1}, pointToCompare);
   })
   .reduce(function (a, b) {
    return a && b;
   });
 };
 // 递归地去一列一列生成符合规则的组合
 var queenCols = function (size) {
  if (1 === size) {
   return interval(1, boarderSize).map(function (i) { return [i]; });
  }
  // 先把之前所有符合规则的列组成的集合再扩展一列，然后用reduce降维，最后用isValid过滤掉不符合规则的组合
  return queenCols(size - 1)
   .map(function (queenCol) {
    return interval(1, boarderSize).map(function (row) {
     return queenCol.concat(row);
    });
   })
   .reduce(function (a, b) {
    return a.concat(b);
   })
   .filter(isValid);
 };
 // queens函数入口
 return queenCols(boarderSize);
};

console.log(queens(8));
// 输出结果:
// [ [ 1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4 ],
//  [ 1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5 ],
//  ...
//  [ 8, 3, 1, 6, 2, 5, 7, 4 ],
//  [ 8, 4, 1, 3, 6, 2, 7, 5 ] ]

PS：延伸的N皇后问题
当 1848 年国际象棋玩家 Max Bezzel 提出八皇后问题（eight queens puzzle）时，他恐怕怎么也想不到，100 多年以后，这个问题竟然成为了编程学习中最重要的必修课之一。八皇后问题听上去非常简单：把八个皇后放在国际象棋棋盘上，使得这八个皇后互相之间不攻击（国际象棋棋盘是一个 8×8 的方阵，皇后则可以朝横竖斜八个方向中的任意一个方向走任意多步）。虽然这个问题一共有 92 个解，但要想徒手找出一个解来也并不容易。下图就是其中一个解：

八皇后问题有很多变种，不过再怎么也不会比下面这个变种版本更帅：请你设计一种方案，在一个无穷大的棋盘的每一行每一列里都放置一个皇后，使得所有皇后互相之间都不攻击。具体地说，假设这个棋盘的左下角在原点处，从下到上有无穷多行，从左到右有无穷多列，你需要找出一个全体正整数的排列方式 a1, a2, a3, … ，使得当你把第一个皇后放在第一行的第 a1 列，把第二个皇后放在第二行的第 a2 列，等等，那么任意两个皇后之间都不会互相攻击。

下面给出一个非常简单巧妙的构造。首先，我们给出五皇后问题的一个解。并且非常重要的是，其中一个皇后占据了最左下角的那个格子。

接下来，我们把五皇后的解扩展到 25 皇后，而依据则是五皇后本身的布局：

样一来，同一组里的五个皇后显然不会互相攻击，不同组的皇后之间显然也不会互相攻击，这便是一个满足要求的 25 皇后解了。注意到，在扩展之后，之前已经填好的部分并未改变。
再接下来怎么办呢？没错，我们又把 25 皇后的解复制成五份，再次按照五皇后的布局来排列，从而扩展到 125 皇后！

像这样不断地根据已填的部分，成倍地向外扩展，便能生成一个无穷皇后问题的解。