Python数据结构之图的存储结构详解

一、图的定义

图是一种比树更复杂的一种数据结构，在图结构中，结点之间的关系是任意的，任意两个元素之间都可能相关，因此，它的应用极广。图中的数据元素通常被称为顶点 ( V e r t e x ) (Vertex) (Vertex)， V V V是顶点的有穷非空集合， V R VR VR是两个顶点之间的关系的集合(可以为空)，可以表示为图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={V,{VR}}。

二、相关术语

2.1 无向图

给定图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={V,{E}}，若该图中每条边都是没有方向的，则称其为无向图 ( U n d i g r a p h ) (Undigraph) (Undigraph)。对图 G G G中顶点 v v v和顶点 w w w的关系，可用无序对 ( v , w ) (v,w) (v,w)表示，它是连接 v v v和 w w w的一条边 ( E d g e ) (Edge) (Edge)。

2.2 有向图

给定图 G = { V , { A } } G=\{V,\{A\}\} G={V,{A}}，若该图中每条边都是有方向的，则称其为有向图 ( D i g r a p h ) (Digraph) (Digraph)。对图 G G G中顶点 v v v和顶点 w w w的关系，可用有序对 < v , w > <v,w> <v,w>表示，它是从 v v v到 w w w的一条弧 ( A r c ) (Arc) (Arc)，其中 v v v被称为弧尾 ( T a i l ) (Tail) (Tail)， w w w被称为弧头 ( H e a d ) (Head) (Head)。

  弧尾也叫初始点 ( I n i t i a l (Initial (Initial N o d e ) Node) Node)，弧头也叫终端点 ( T e r m i n a l (Terminal (Terminal N o d e ) Node) Node)。

2.3 完全图

对于任一无向图，若其顶点的总数目为 n n n，边的总数目为 e = n ( n − 1 ) 2 e=\frac {n(n-1)} {2} e=2n(n−1)​，则称其为完全图 ( C o m p l e t e d (Completed (Completed G r a p h ) Graph) Graph)。

2.4 有向完全图

对于任一有向图，若其顶点的总数目为 n n n，边的总数目为 e = n ( n − 1 ) e=n(n-1) e=n(n−1)，则称其为有向完全图。

2.5 稀疏图和稠密图

对于具有 n n n个顶点， e e e条边或弧的图来说，若 e e e很小，比如 e < n log ⁡ n e<n\log n e<nlogn，则称其为稀疏图 ( S p a r s e (Sparse (Sparse G r a p h ) Graph) Graph)，反之称其为稠密图 ( D e n s e (Dense (Dense G r a p h ) Graph) Graph)。

2.6 权和网

赋予图中边或弧的数值称为权 ( W e i g h t ) (Weight) (Weight)，它可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离；带权的图称为网 ( N e t w o r k ) (Network) (Network)。

2.7 稀疏网和稠密网

带权的稀疏图、稠密图称为稀疏网、稠密网。

2.8 子图

对于图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={V,{E}}和图 G ′ = { V ′ , { E ′ } } G'=\{V',\{E'\}\} G′={V′,{E′}}，若 V ′ ⊆ V V'\subseteq V V′⊆V且 E ′ ⊆ E E'\subseteq E E′⊆E，则称 G ′ G' G′为 G G G的子图 ( S u b g r a p h ) (Subgraph) (Subgraph)。

2.9 邻接点

对于无向图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={V,{E}}，若 v ∈ V v\in V v∈V、 w ∈ V w\in V w∈V且 ( v , w ) ∈ E (v,w)\in E (v,w)∈E，则称顶点 v v v和顶点 w w w互为邻接点 ( A d j a c e n t ) (Adjacent) (Adjacent)，并称边 ( v , w ) (v,w) (v,w)依附 ( I n c i d e n t ) (Incident) (Incident)于顶点 v v v和顶点 w w w，或称边 ( v , w ) (v,w) (v,w)与顶点 v v v和顶点 w w w相关联。

对于有向图 G = { V , { A } } G=\{V,\{A\}\} G={V,{A}}，若 v ∈ V v\in V v∈V、 w ∈ V w\in V w∈V且 < v , w > ∈ A <v,w>\in A <v,w>∈A，则称顶点 v v v邻接到顶点 w w w，顶点 w w w邻接自顶点 v v v，并称弧 < v , w > <v,w> <v,w>与顶点 v v v和顶点 w w w相关联。

2.10 度、入度与出度

在无向图中，顶点 v v v的度 ( D e g r e e ) (Degree) (Degree)等于与该顶点相关联的边的数目，记为 T D ( v ) TD(v) TD(v)。

在有向图中，顶点 v v v的度等于该顶点的入度与出度之和，记为 T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) TD(v)=ID(v)+OD(v) TD(v)=ID(v)+OD(v)，其中顶点 v v v的入度 ( I n D e g r e e ) (InDegree) (InDegree)为以该顶点为弧头的弧的数目，记为 I D ( v ) ID(v) ID(v)，顶点 v v v的出度 ( O u t D e g r e e ) (OutDegree) (OutDegree)为以该顶点为弧尾的弧的数目，记为 O D ( v ) OD(v) OD(v)。

2.11 路径、简单路径与路径长度

路径 ( P a t h ) (Path) (Path)是任意两个有关联的顶点之间的边或弧，在图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={V,{VR}}中，顶点 v 1 v_1 v1​到顶点 v n v_n vn​的路径是一个顶点序列 ( v 1 , v 2 , … , v i , v j , … , v n ) (v_1,v_2,\dots,v_i,v_j,\dots,v_n) (v1​,v2​,…,vi​,vj​,…,vn​)，对于上述序列中的任意相邻的顶点 v i v_i vi​和 v j v_j vj​，若图 G G G是无向图，则有 ( v , w ) ∈ E (v,w)\in E (v,w)∈E，若图 G G G是有向图，则有 < v , w > ∈ A <v,w>\in A <v,w>∈A。

对于给定的一条路径，若该路径对应的序列中的顶点不重复，则称为该路径为简单路径。

路径上边或弧的数目称为路径长度。

2.12 回路与简单回路

若某一路径中的第一个顶点和最后一个顶点相同，则称该路径为回路，也称为环 ( C y c l e ) (Cycle) (Cycle)。

在某一回路中，若除去第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点均不重复，则称为该回路为简单回路，也称为简单环。

2.13 连通图与连通分量

在无向图中，若从顶点 v v v到顶点 w w w有路径，则称为 v v v到 w w w是连通的，若该图中的任意两个顶点间都是连通的，则称该图为连通图 ( C o n n e c t e d (Connected (Connected G r a p h ) Graph) Graph)。无向图中的极大连通子图称为连通分量 ( C o n n e c t e d (Connected (Connected C o m p o n e n t ) Component) Component)。这里的极大就是尽可能地包含更多的顶点。

2.14 强连通图与强连通分量

在有向图中，若从顶点 v v v到顶点 w w w有路径，从顶点 w w w到顶点 v v v也有路径，则称为 v v v和 w w w是强连通的，若该图中的任意两个顶点间都是强连通的，则称该图为强连通图。有向图中的极大连通子图称为强连通分量。

2.15 生成树、最小生成树与生成森林

具有 n n n个顶点的连通图的极小连通子图称为生成树，生成树包含这一连通图的 n n n个顶点和 n − 1 n-1 n−1条边。这里的极小是尽可能少地包含边。

通常把各边带权的连通图称为连通网，在连通网的所有生成树中，对每一棵生成树的各边权值求和，其中权值最小的生成树称为该连通网的最小生成树。

非连通图的各连通分量的生成树组成的森林称为生成森林。

3. 图的性质

3.1 性质1

若图中有 n n n个顶点 v 1 , v 2 , … , v n v_1,v_2,\dots,v_n v1​,v2​,…,vn​， e e e条边或弧，其中顶点的度分别为 T D ( v 1 ) , T D ( v 2 ) , … , T D ( v n ) TD(v_1),TD(v_2),\dots,TD(v_n) TD(v1​),TD(v2​),…,TD(vn​)，则有
e = 1 2 ∑ i = 1 n T D ( v i ) e=\frac {1} {2} \sum_{i=1} ^ {n} TD(v_i) e=21​i=1∑n​TD(vi​)

3.2 性质2

一棵有 n n n个顶点的生成树有且仅有 n − 1 n-1 n−1条边。

4. 图的存储结构

4.1 邻接矩阵

用于无向图、有向图

在存储含有 n n n个结点的图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={V,{VR}}时，将图中的所有顶点存储在长度为 n n n的一维数组中，将图中边或弧的信息存储在 n × n n\times n n×n的二维数组中，我们称这个二维的数组为邻接矩阵。假设图 G G G中顶点 v v v和顶点 w w w在一维数组中的下标分别为 i i i、 j j j，则该图对应各邻接矩阵定义如下：

若该图为无向图或有向图，则
A r c s [ j ] [ j ] = { 1 , ( v , w ) ∈ E 或 < v , w > ∈ A 0 , 其 他 Arcs[j][j]=\begin{cases} 1, & (v,w)\in E或<v,w>\in A\\ \\ 0, & 其他 \end{cases} Arcs[j][j]=⎩⎪⎨⎪⎧​1,0,​(v,w)∈E或<v,w>∈A其他​  若该图为无向网或有向网，则
A r c s [ j ] [ j ] = { w i j , ( v , w ) ∈ E 或 < v , w > ∈ A ∞ , 其 他 Arcs[j][j]=\begin{cases} w_{ij}, & (v,w)\in E或<v,w>\in A\\ \\ \infty, & 其他 \end{cases} Arcs[j][j]=⎩⎪⎨⎪⎧​wij​,∞,​(v,w)∈E或<v,w>∈A其他​  其中， w i j w_{ij} wij​为边或弧对应的权值。

定义图中的顶点：

class VertexMatrix(object):
    """
    图的一个顶点
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.info = None

定义图：

class GraphMatrix(object):
    """
    图的邻接矩阵
    """
    def __init__(self, kind):
        # 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
        # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
        self.kind = kind
        # 顶点表
        self.vertexs = []
        # 边表, 即邻接矩阵, 是个二维的
        self.arcs = []
        # 当前顶点数
        self.vexnum = 0
        # 当前边(弧)数
        self.arcnum = 0

无向图及其邻接矩阵、有向网及其邻接矩阵如下：
A r c s = [ 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 ] A r c s = [ ∞ 1 2 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ ∞ ∞ ∞ 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ] Arcs=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} Arcs=\begin{bmatrix} \infty & 1 & 2 & \infty \\ \infty & \infty & 3 & \infty \\ \infty & \infty & \infty & 4 \\ \infty & \infty & \infty & \infty \end{bmatrix} Arcs=⎣⎢⎢⎡​0101​1001​0001​1110​⎦⎥⎥⎤​Arcs=⎣⎢⎢⎡​∞∞∞∞​1∞∞∞​23∞∞​∞∞4∞​⎦⎥⎥⎤

​

邻接矩阵的特点如下：

(1) 由于在创建邻接矩阵时，输入顶点的顺序不同，其相应的邻接矩阵也是不同的；

(2) 对于含有 n n n个顶点的图，其邻接矩阵一定是 n × n n\times n n×n的二维数组；

(3) 无向图的邻接矩阵具有对称性，可采用压缩存储的方式存储；

(4) 对于无向图，若某一顶点 v v v在一维数组中的下标为 i i i，则该顶点的度为邻接矩阵的第 i + 1 i+1 i+1行中值为1的元素的总数目；

(5) 对于有向图，若某一顶点 v v v在一维数组中的下标为 i i i，则该顶点的出度为邻接矩阵的第 i + 1 i+1 i+1行中值为1的元素的总数目，入度为邻接矩阵的第 i + 1 i+1 i+1列中值为1的元素的总数目。

构造一个具有 n n n个顶点 e e e条边的无向网的时间复杂度为 O ( n 2 + n e ) O(n^2+ne) O(n2+ne)，其中对邻接矩阵的初始化使用了 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的时间。

4.2 邻接表

用于无向图、有向图

使用邻接表存储图时，将图分为两个部分：

第一部分为图中每一个顶点及与该顶点相关联的第一条边或弧，可以这样定义：

class VertexAdjacencyList(object):
    """
    图的一个顶点
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 与该顶点相连的第一条边FirstArc
        self.FirstArc = None

使用data域来存储图中的每一个顶点，FirstArc域来存储与该顶点相关联的第一条弧或边，通常情况下指向第二部分单链表的第一个结点。

第二部分为用一个结点来存储图中的每一条边或弧，该结点由adjacent域、info域和NextArc域组成，这些结点形成了单链表。这部分结点可以这样定义：

class ArcAdjacencyList(object):
    """
    图的一个边(弧)
    """
    def __init__(self, adjacent):
        # 邻接点或弧头, 与该顶点相连的另一顶点的index
        self.adjacent = adjacent
        self.info = None
        # 与该边(弧)依附于相同顶点的下一条边(弧)NextArc
        self.NextArc = None

根据上面图的邻接表可以这样定义：

class GraphAdjacencyList(object):
    """
    图的邻接表
    """
    def __init__(self, kind):
        # 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
        # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
        self.kind = kind
        # 邻接表
        self.vertices = []
        # 当前顶点数
        self.vexnum = 0
        # 当前边(弧)数
        self.arcnum = 0

无向图及其邻接表：

有向网及其邻接表、逆邻接表：

邻接表的特点如下：

(1) 由于存储边或弧通过不同的连接顺序会形成不同的单链表，所以图的邻接表不是唯一的；

(2) 对于具有 e e e条边的无向图，使用邻接表存储时需要 2 e 2e 2e个结点来存储图的边，而对于具有 e e e条弧的有向图，使用邻接表存储时需要 e e e个结点来存储图的弧；

(3) 对于具有 n n n个顶点 e e e条边或弧的稀疏图而言，若采用邻接矩阵存储，则需要 n 2 n^2 n2个存储空间来存储图的边或弧，而采用邻接表存储时，则至多需要 2 e 2e 2e个结点存储图的边或弧，所以稀疏图的存储使用邻接表会更节省空间；

(4) 对于无向图，顶点的度等于该顶点对应的单链表中结点的总数目；

(5) 对于有向图，若某一顶点在数组中的下标为 i i i，则该顶点的出度为该顶点对应的单链表中结点的总数目，入度为邻接表中adjacent域内值为 i i i的结点的总数目。
在使用邻接表存储图时，计算图中的某一顶点的出度很容易，但是在计算其入度时，最坏的情况需要遍历整个邻接表。因此，有时为了方便计算顶点的入度，可以为该图建立一个逆邻接表。

在建立邻接表或逆邻接表时，如输入的顶点信息为顶点的编号，则建立邻接表或逆邻接表的时间复杂度为 O ( n + e ) O(n+e) O(n+e)，否则，需要通过查找才能确定顶点在图中的位置，对应的时间复杂度为 O ( n e ) O(ne) O(ne)。

4.3 十字链表

用于有向图

十字链表通常用于有向图，可以将它看成邻接表和逆邻接表的结合。同样分为两个部分，即顶点结点部分和弧部分，通常将顶结点存储在数组中，弧结点存储在单链表中。

顶点结点包含data域、FirstIn域和FirstOut域，其中data域存储顶点的值，FirstIn域指向以当前顶点为弧头的第

一条弧和FirstOut域指向以当前顶点为弧尾的第一条弧。
弧结点包含TailVertex域、HeadVertex域、HeadLink域、TailLink域和info域，其中TailVertex域存储当前弧的弧尾在数组中的下标，HeadVertex域存储当前弧的弧头在数组中的下标，HeadLink域指向与当前弧有相同弧头的下一条弧，TailLink域指向与当前弧有相同弧尾的下一条弧，info域存储当前弧的其他信息。

顶点结点定义如下：

class VertexOrthogonalList(object):
    """
    有向图的一个顶点
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 以该顶点为弧头的第一条弧FirstIn
        self.FirstIn= None
        # 以该顶点为弧尾的第一条弧FirstOut
        self.FirstOut= None

弧结点定义如下：

class ArcOrthogonalList(object):
    """
    有向图的一条弧
    """
    def __init__(self):
        # 当前弧中弧头在数组中的下标HeadVertex
        self.HeadVertex = None
        # 当前弧中弧尾在数组中的下标TailVertex
        self.TailVertex = None
        # 与当前弧有相同弧头的下一条弧HeadLink
        self.HeadLink = None
        # 与当前弧有相同弧尾的下一条弧TailLink
        self.TailLink = None
        self.info = None

十字链表表示的有向图定义如下：

class GraphOrthogonalList(object):
    """
    有向图的十字链表
    """
    def __init__(self):
        # 十字链表
        self.vertices = []
        # 当前顶点数
        self.vexnum = 0
        # 当前边(弧)数
        self.arcnum = 0

有向图及其十字链表：

4.4 邻接多重表

用于无向图

在使用邻接表存储无向图时，图的每一条边都对应两个结点，由于这两个结点属于两个不同的邻接表，所以在进行删除操作时需要对邻接表的两条单链表进行操作，比较麻烦，所有引出了邻接多重表。邻接多重表同样分为两个部分，即顶点结点和边结点，通常将顶点结点存储在数组中，边结点存储在单链表中。

顶点结点包含data域和FirstEdge域，其中data域存储顶点的值，FirstEdge域指向与当前顶点相关联的第一条边。

边结点包含mark域、VertexOne域、NextEdgeOne域、VertexTwo域、NextEdgeTwo域和info域，其中mark域用于标记当前是否被访问，VertexOne域和VertexTwo域分别存储当前边的两个顶点在数组中的下标，NextEdgeOne域指向与VertexOne域对应的顶点相关联的下一条边，NextEdgeTwo域指向与VertexTwo域对应的顶点相关联的下一条边，info域存储当前边的其他信息。

顶点结点定义如下：

class VertexAdjacencyMultitable(object):
    """
    无向图的一个顶点
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 与该顶点相连的第一条边FirstEdge
        self.FirstEdge = None

边结点定义如下：

class Edge(object):
    """
    无向图的邻接多重表
    """
    def __init__(self):
        # 用来标记当前边是否已被访问过
        self.mark = None
        # 该边的两个顶点在数组中的下标
        self.VertexOne = None
        self.VertexTwo = None
        # 与VertexOne对应的顶点相连的下一条边NextEdgeOne
        self.NextEdgeOne = None
        # 与VertexTwo对应的顶点相连的下一条边NextEdgeTwo
        self.NextEdgeTwo = None
        self.info = None

多重邻接表表示的图定义如下：

class GraphAdjacencyMultitable(object):
    """
    无向图的邻接多重表
    """
    def __init__(self):
        self.vertices = []
        self.vertexnum = 0
        self.edgenum = 0

无向图及其邻接多重链表：

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