C++ 实现求小于n的最大素数的实例

C++ 实现求小于n的最大素数的实例

枚举就是基于已有知识镜像答案猜测的一种问题求解策略

问题：求小于n的最大素数

分析：

找不到一个数学公式，使得根据N就可以计算出这个素数

    我们思考：

N-1是素数么？N-2是素数吗？...    
    所以我们就是判断N-K是否为素数：
    N-K是素数的充分必要条件：N-K不能被[2,n-k)中任何一个整除    
    判断N-K是否为素数的问题可以转化为：
    求小于N-K的全部素数（求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”，而不是整数）
    不能被[2,n)中任意一个素数整除的数一定是素数，因为那些整数都是以素数为因子的，
    所以没必要检测所有整数，检测所有素数就ok了

解决方法：

2是素数，记为PRIM 0

根据PRIM 0，PRIM 1，...PRIM K，寻找比PRIM K大的最小素数PRIM K+1（这里是根据素数找素数）

如果PRIM K+1大于N，则PRIM K是我们需要找的素数，否则继续寻找

    枚举：

从可能的集合中一一列举各元素
        根据所知道的知识，给一个猜测的答案
        比如：2是素数，那2是本问题的解么

枚举算法：

对问题可能解集合的每一项：
            根据问题给定的检验条件判断哪些是成立的
            使条件成立的即为问题的解

   枚举过程：

判断猜测答案是否正确
            2是小于N的最大素数么？
        进行新的猜测：

有两个关键因素要注意：

1. 猜测的结果必须是前面的猜测中没有出现过的。每次猜测的素数一定要比已经找到的素数大
                2. 猜测的过程中要及早排除错误的答案。比如：除2之外，只有奇数才可能是素数

    枚举过程中需要考虑的问题：

1. 给出解空间，建立简介的数学模型
            可能的情况是什么？
            模型中变量数尽可能的少（使规模尽量小），他们之间相互独立
                求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”
                而不是“n不能被[2,n)中任意一个整数整除”

2. 减少搜索的空间

利用知识缩小模型中各变量的取值范围，避免不必要的计算
            比如：较少代码中循环体执行的次数
                除2之外，只有奇数才可能是素数，{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}

3. 采用合适的搜索顺序

搜索空间的遍历顺序要与模型中条件表达式一致
            例如：对{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}，按照从小到大的顺序

  枚举关键字（枚举核心）：

减少规模

实例代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int prim[50000];//用来存所有素数
int primNum=0;//用来记录 prim数组中已经存入的素数的数量
int times=0; //用于记录求解问题的总共判断次数
int primLessN(int n);
int primLessN_2(int n);
bool isPrimMothed(int n); //判断一个数是否为素数 

/*
  方法一：由前往后用素数判断的枚举法：
  求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”，而不是整数

  当n=10 0000时，
  ans=99991
  times=4626 4478次
  primNum=9592 

  我每一个素数被判断出来，都要遍历一下之前的素数表
  而判断10 0000的时候，外层循环走了50000，里层每一个素数就是一次之前素数表的遍历
  50000*（1+2+3+...+9592)=50000* 4600 8082
  前面那个数没有50000，还要减去那些非素数
  从 50000* 4600 8082可以看出，主要是之前那些素数花的时间，非素数几乎没花时间
  非素数= 4626 4478-4600 8082= 25 6450
  只有25万，虽然还是要比下面多很多，因为是从前往后比较的
*/
int primLessN(int n)
{
  prim[0]=2; //2是最小的素数
  primNum++;
  for(int i=3;i<n;i+=2){
    bool isPrim=1; //isPrim用来判断一个数是否为素数
    for(int j=0;j<primNum;j++){
      times++;
      if(i%prim[j]==0){
        isPrim=0;
        break; //没加break之前， 当n=10 0000时，times=2 5239 6936次 （2.5亿） ，加了之后times=4626 4478次 （4.5千万次）
      }

    }
    if(isPrim) prim[primNum++]=i;//如果是素数，则存入prim素数数组
  }
  return prim[primNum-1];
} 

/*
  方法二： 由后往前的整数枚举法
  而且方法二的空间消耗也少 

  当n=10 0000时，
  ans=99991
  times=346次 

  当n=100 0000时，用方法一的话，根本算不出来
  ans=99 9983
  times=1811次 

  当n=1 0000 0000(一亿)时，
  ans=9999 9989
  times=11314次 

  当n=10 0000 0000(十亿)时，
  ans=9 9999 9937
  times=52537次
*/
bool isPrimMothed(int n){
  bool isPrim=1; //isPrim用来判断一个数是否为素数
  if(n==2||n==3) return 1;
  for(int i=2;i*i<=n;i++){
    times++;
    if(n%i==0) return 0;
  }
  return 1;
} 

int primLessN_2(int n){
  for(int i=n;i>=2;i--){
    if(isPrimMothed(i)) return i;
  }
}
int main(){
  int n;
  scanf("%d",&n);
  //int ans=primLessN(n);
  int ans=primLessN_2(n);
  cout<<ans<<endl;
  printf("总判断次数times:%d\n",times);
  printf("总素数数primNum:%d\n",primNum);
  return 0;
}

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