JAVA十大排序算法之堆排序详解
目录
- 堆排序
- 知识补充
- 二叉树
- 满二叉树
- 完全二叉树
- 二叉堆
- 代码实现
- 时间复杂度
- 算法稳定性
- 思考
- 总结
堆排序
这里的堆并不是JVM中堆栈的堆,而是一种特殊的二叉树,通常也叫作二叉堆。它具有以下特点:
- 它是完全二叉树
- 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值
知识补充
二叉树
树中节点的子节点不超过2的有序树
满二叉树
二叉树中除了叶子节点,每个节点的子节点都为2,则此二叉树为满二叉树。
完全二叉树
如果对满二叉树的结点进行编号,约定编号从根结点起,自上而下,自左而右。则深度为k的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时,称之为完全二叉树。
特点:叶子结点只能出现在最下层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。需要注意的是,满二叉树肯定是完全二叉树,而完全二叉树不一定是满二叉树。
二叉堆
二叉堆是一种特殊的堆,可以被看做一棵完全二叉树的数组对象,而根据其性质又可以分为下面两种:
- 大根堆:每一个根节点都大于等于它的左右孩子节点,也叫最大堆
- 小根堆:每一个根节点都小于等于它的左右孩子节点,也叫最小堆
如果把一个数组通过大根堆的方式来表示(数组元素的值是可变的),如下:
由此可以推出:
- 对于位置为 k 的节点,其子节点的位置分别为,左子节点 = 2k + 1,右子节点 = 2(k + 1)
如:对于 k = 1,其节点的对应数组为 5
左子节点的位置为 3,对应数组的值为 3
右子节点的位置为 4,对应数组的值为 2
- 最后一个非叶子节点的位置为 (n/2) - 1,n为数组长度
如:数组长度为6,则 (6/2) - 1 = 2,即位置 2 为最后一个非叶子节点
给定一个随机数组[35,63,48,9,86,24,53,11],
将该数组视为一个完全二叉树:
从上图很明显的可以看出,这个二叉树不符合大根堆的定义,但是可以通过调整,使它变为最大堆。如果从最后一个非叶子节点开始,从下到上,从右往左调整,则:
通过上面的调整,该二叉树为最大堆,这个时候开始排序,排序规则:
- 将堆顶元素和尾元素交换交换
- 后重新调整元素的位置,使之重新变成二叉堆
代码实现
public class HeapSort { public static final int[] ARRAY = {35, 63, 48, 9, 86, 24, 53, 11}; public static int[] sort(int[] array) { //数组的长度 int length = array.length; if (length < 2) return array; //首先构建一个最大堆 buildMaxHeap(array); //调整为最大堆之后,顶元素为最大元素并与微元素交换 while (length > 0) {//当lenth <= 0时,说明已经到堆顶 //交换 swap(array, 0, length - 1); length--;//交换之后相当于把树中的最大值弹出去了,所以要-- //交换之后从上往下调整使之成为最大堆 adjustHeap(array, 0, length); } return array; } //对元素组构建为一个对应数组的最大堆 private static void buildMaxHeap(int[] array) { //在之前的分析可知,最大堆的构建是从最后一个非叶子节点开始,从下往上,从右往左调整 //最后一个非叶子节点的位置为:array.length/2 - 1 for (int i = array.length / 2 - 1; i >= 0; i--) { //调整使之成为最大堆 adjustHeap(array, i, array.length); } } /** * 调整 * @param parent 最后一个非叶子节点 * @param length 数组的长度 */ private static void adjustHeap(int[] array, int parent, int length) { //定义最大值的索引 int maxIndex = parent; //parent为对应元素的位置(数组的索引) int left = 2 * parent + 1;//左子节点对应元素的位置 int right = 2 * (parent + 1);//右子节点对应元素的位置 //判断是否有子节点,再比较父节点和左右子节点的大小 //因为parent最后一个非叶子节点,所以如果有左右子节点则节点的位置都小于数组的长度 if (left < length && array[left] > array[maxIndex]) {//左子节点如果比父节点大 maxIndex = left; } if (right < length && array[right] > array[maxIndex]) {//右子节点如果比父节点大 maxIndex = right; } //maxIndex为父节点,若发生改变则说明不是最大节点,需要交换 if (maxIndex != parent) { swap(array, maxIndex, parent); //交换之后递归再次调整比较 adjustHeap(array, maxIndex, length); } } //交换 private static void swap(int[] array, int i, int j) { int temp = array[i]; array[i] = array[j]; array[j] = temp; } public static void print(int[] array) { for (int i : array) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(""); } public static void main(String[] args) { print(ARRAY); System.out.println("============================================"); print(sort(ARRAY)); } }
时间复杂度
堆的时间复杂度是 O(nlogn)
参考:堆排序的时间复杂度分析
算法稳定性
堆的结构为,对于位置为 k 的节点,其子节点的位置分别为,左子节点 = 2k + 1,右子节点 = 2(k + 1),最大堆要求父节点大于等于其2个子节点,最小堆要求父节点小于等于其2个子节点。
在一个长为n的序列,堆排序的过程是从第n/2开始和其子节点共3个值选择最大(最大堆)或者最小(最大堆),这3个元素之间的选择当然不会破坏稳定性。但当为n/2-1,n/2-2,… 1 这些个父节点选择元素时,就会破坏稳定性。有可能第n/2个父节点交换把后面一个元素交换过去了,而第n/2-1个父节点把后面一个相同的元素没有交换,那么这2个相同的元素之间的稳定性就被破坏了。所以,堆排序不是稳定的排序算法。
思考
对于快速排序来说,其平均复杂度为O(nlogn),堆排序也是O(nlogn),怎么选择?如下题:
leetcode:数组中的第K个最大元素
此题的意思是对于一个无序数组,经过排序后的第 k 个最大的元素。
我们知道快速排序是需要对整个数组进行排序,这样才能取出第 k 个最大的元素。
如果使用堆排序,且是最大堆的方式,则第k次循环即可找出第 k 个最大的元素,并不需要吧整个数组排序。
所以对于怎么选择的问题,要看具体的场景,或者是两者都可。
总结
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