java 排序算法之希尔算法

目录

• 插入排序存在的问题
• 简单介绍
• 基本思想
• 代码实现
• 大数据量耗时测试
• 移动法实现希尔排序
• 移动法-大数据量耗时测试
• 算法分析

注：学习本篇的前提是要会插入排序，数据结构与算法——排序算法-插入排序

插入排序存在的问题

简单的插入排序可能存在的问题。

如数组 arr = {2,3,4,5,6,1} 这时需要插入的数 1（最小），过程是：

展示的是要移动 1 这个数，的过程，由于在最后，需要前面的所有数都往后移动一位
{2,3,4,5,6,6}
{2,3,4,5,5,6}
{2,3,4,4,5,6}
{2,3,3,4,5,6}
{2,2,3,4,5,6}
{1,2,3,4,5,6}

结论：当需要插入的数是较小的数时，后移的次数明显增多，对效率有影响。

简单介绍

希尔排序（Shell's Sort）是希尔（Donald Shell）于 1959 年提出的一种排序算法。

希尔排序也是一种 插入排序（Insertion sort），是将整个无序列分割成若干小的子序列分别进行插入排序的方法，它是简单插入排序经过改进后的一个 更高效的版本，也称为 缩小增量排序。时间复杂度 O(n^（1.3—2）

关于插入排序请看 数据结构与算法——排序算法-插入排序

基本思想

希尔排序把记录按 下标的一定增量分组，对每组使用 直接插入排序算法 排序，随着 增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多（要排序的数），当增量减至 1 时，整个文件被分成一组，算法便终止。

光看上面的描述，对于首次接触的人来说，不知道是啥意思，举个例子，认真思考下面的说明：

• 原始数组：以下数据元素颜色相同为一组

• 初始增量为：gap = length/2 这里为 gap = 10 / 2 = 5（length 是数组的大小）

那么意味着整个数组被分为 5 组。分别为 [8,3][9,5][1,4][7,6][2,0]

先看明白这里的增量为 5 ，就会分成 5 组。[8,3] 这一组来说，对比看下图，它的意思是：从 8 开始，下标增加 5 既对应的数是 3，所以他们分为一组

• 对上面的这 5 组分别进行 直接插入排序 ，也就是每一组分为有序列 和 无序列，例如 [8,3] 这组，8 为有序列倒数第一个数 3为无序列第一个数。

结果如下图：可以看到，像 3、5、6 这些小的元素被调整到了前面。

然后缩小增量 gap = 5 / 2 = 2，则数组被分为 2 组 [3,1,0,9,7] 和 [5,6,8,4,2]

• 对以上 2 组再分别进行 直接插入排序，即每一组分为有序列 和 无序列，例如[3,1,0,9,7] 这组，3 为有序列的倒数第一个数 1 为无序列第一个数。

结果如下图：可以看到，此时整个组数的有序程度更进一步。

然后再缩小增量 gap = 2 / 2 = 1，则整个数组被当成一组，再进行一次直接插入排序，即每一组分为有序列 和 无序列，0 为有序列的倒数第一个数 2为无序列第一个数。由于基本上是有序的了，所以少了很多次的调整。

动图：

经过上面的解析，应该对希尔排序有了初步的认识，为了更深入理解它的实现过程以及原理，下面通过代码进行演示。

代码实现

场景：有一群小牛，考试成绩分布是 {8,9,1,7,2,3,5,4,6,0}，请从小到大排序。

对于希尔排序时，对有序序列在 插入 时，有以下两种方式：

• 交换法：容易理解，速度相对较慢 （初学者用来理解的）
• 移动法：不太容易理解，速度相对较快 （这个才算是真正的希尔排序）

先实现交换法，然后再优化成移动法。比较容易。但是我个人感觉，如果你学好了插入排序，移动法更容易理解。

特别注意

1.希尔排序，是一种插入排序，插入排序算法使用了的是移动法，上面基本思想也算是是用的移动法，但是基本思想是一个样的，什么移动法、交换法的只是一个数据移动方式。（这里先讲解交换法，便于理解）

2.希尔排序，对插入排序的改进，先分组，这里分组是通过增量步长和相关算法，来达到在循环中直接获取到这一个组的元素

3.直接排序的基本思想一定要记得，最重要的两个变量：无序列表中的第一个值，与有序列表中的最后一个值开始比较

    /**
     * 推到的方式来演示每一步怎么做，然后找规律
     */
    @Test
    public void processDemo() {
        int arr[] = {8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0};
        System.out.println("原始数组：" + Arrays.toString(arr));
        processShellSort(arr);
    }

    public void processShellSort(int[] arr) {
        // 按照笔记中的基本思想，一共三轮
        // 第 1 轮：初始数组 [8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0]
        // 将 10 个数字分成了 5 组( length / 2)，增量也是 5，需要对 5 组进行排序
        // 外层循环，并不是循环 5 次，只是这里巧合了。
        // 一定要记得，希尔排序：先分组，在对每组进行插入排序
        for (int i = 5; i < arr.length; i++) {
            // 第 1 组：[8,3] , 分别对应原始数组的下标 0,5
            // 第 2 组：[9,5] , 分别对应原始数组的下标 1,6
            // ...
            // 内层循环对 每一组 进行直接排序操作
            // i = 5 ；j = 0, j-=5 = 0 - 5 = -5,跳出循环，arr[j] = 8 ，这是对第 1 组进行插入排序
            // i = 6 ；j = 1, j-=5 = 1 - 5 = -4,跳出循环，arr[j] = 9 ， 这是对第 2 组进行插入排序
            // i = 7 ；j = 2, j-=5 = 2 - 5 = -3,跳出循环，arr[j] = 1 ，这是对第 3 组进行插入排序
            // i = 8 ；j = 3, j-=5 = 3 - 5 = -2,跳出循环，arr[j] = 7 ，这是对第 4 组进行插入排序
            // i = 9 ；j = 4, j-=5 = 4 - 5 = -1,跳出循环，arr[j] = 2 ，这是对第 5 组进行插入排序
            for (int j = i - 5; j >= 0; j -= 5) {
                // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，就交换
                if (arr[j] > arr[j + 5]) {
                    int temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j + 5];
                    arr[j + 5] = temp;
                }
            }
        }
        System.out.println("第 1 轮排序后：" + Arrays.toString(arr));

        // 第 2 轮：上一轮排序后的数组：[3, 5, 1, 6, 0, 8, 9, 4, 7, 2]
        // 将 10 个数字分成了 2 组（上一次的增量 5 / 2），增量也为 2，需要对 2 组进行排序
        for (int i = 2; i < arr.length; i++) {
            // 第 1 组：[3,1,0,9,7] , 分别对应原始数组的下标 0,2,4,6,8
            // 第 2 组：[5,6,8,4,2] , 分别对应原始数组的下标 1,3,5,7,9

            // 内层循环对 每一组 进行直接排序操作
            // i = 2 ；j = 0, j-=2 = 0 - 2 = -2，arr[j] = 3 ，跳出循环，
            //      这是对第 1 组中的 3,1 进行比较，1 为无序列表中的比较元素，3 为有序列表中的最后一个元素，3 > 1，进行交换
            //      交换后的数组：[1, 5, 3, 6, 0, 8, 9, 4, 7, 2]
            //      第 1 组：[1,3,0,9,7]

            // i = 3 ；j = 1, j-=2 = 1 - 2 = -1,arr[j] = 5 ，跳出循环
            //      这是对第 2 组中的 5,6 进行比较，6 为无序列表中的比较元素，5 为有序列表中的最后一个元素，5 < 6，不进行交换
            //      交换后的数组：[1, 5, 3, 6, 0, 8, 9, 4, 7, 2] , 没有交换
            //      第 2 组：[5,6,8,4,2]

            // i = 4 ；j = 2, j-=2 = 2 - 2 = 0，arr[j] = 3 ，
            //      这是对第 1 组中的 3,0 进行比较，0 为无序列表中的比较元素，3 为有序列表中的最后一个元素，3 > 0，进行交换
            //      交换后的数组：[1, 5, 0, 6, 3, 8, 9, 4, 7, 2]，
            //           第 1 组：[1,0,3,9,7]
            //      由于 2 - 2 = 0，此时 j = 0，满足条件，继续循环 i = 4 ：j = 0, j-=2 = 0 - 2 = -2，arr[j] = 1 ，跳出循环
            //      这是对第 1 组中的有序列表中的剩余数据进行交换，1,0, 1>0 ，他们进行交换（这里也就是完成有序列的一个排序）
            //           第 1 组：[0,1,3,9,7]
            //虽然有可能本次的排序完成了但是排序循环还是会循环下去，直到循环结束，后面的移动法会解决该问题
            //以此类推
            for (int j = i - 2; j >= 0; j -= 2) {
                if (arr[j] > arr[j + 2]) {
                    int temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j + 2];
                    arr[j + 2] = temp;
                }
            }
        }
        System.out.println("第 2 轮排序后：" + Arrays.toString(arr));

        // 第 3 轮：上一轮排序后的数组：[0, 2, 1, 4, 3, 5, 7, 6, 9, 8]
        // 将 10 个数字分成了 1 组（上一次的增量 2 / 2），增量也为 1，需要对 1 组进行排序
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            // 第 1 组：[0, 2, 1, 4, 3, 5, 7, 6, 9, 8]
            // i = 1 ：j = 0, j-=1 = 0 - 1 = -1，arr[j] = 0 ，跳出循环
            //      0 为有序列表中的最后一个元素，2 为无须列表中要比较的元素。 0 < 2,不交换
            //      [0, 2    有序 <-> 无序, 1, 4, 3, 5, 7, 6, 9, 8]
            // i = 2 ：j = 1, j-=1 = 1 - 1 = o，arr[j] = 2 ，
            //      2 为有序列表中的最后一个元素，1 为无序列表中要比较的元素， 2 > 1,交换
            //      交换后：[0, 1, 2,     4, 3, 5, 7, 6, 9, 8]
            //      由于不退出循环，还要比较有序列表中的数据，0 与 1 ，0 < 1 ，不交换，退出循环
            //后面的以此类推，就是一个插入排序
            for (int j = i - 1; j >= 0; j -= 1) {
                if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                    int temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j + 1];
                    arr[j + 1] = temp;
                }
            }
        }
        System.out.println("第 3 轮排序后：" + Arrays.toString(arr));
    }

测试输出信息

原始数组：[8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0]
第 1 轮排序后：[3, 5, 1, 6, 0, 8, 9, 4, 7, 2]
第 2 轮排序后：[0, 2, 1, 4, 3, 5, 7, 6, 9, 8]
第 3 轮排序后：[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

这里的两层循环一定明白是在做什么：

• 外层循环：不是控制组数，是为了内层循环 每一轮开始，都能 拿到某一组的无序列表第一个元素 arr[i]

难点：结束条件是数组长度，是为了能拿到数组中的所有元素，每增长一次，由于步长的因素，可能这一的元素就不是上一次的同一组了。

• 内层循环：拿到了这一组无序列表中第一个元素，只要减掉增量步长，就是有序列表中中的最后一个元素 arr[j] (这里说的是 循环中的 int j = i - gap)

细品这里的含义，这就是 插入排序博客中 讲解的直接插入排序法的两个变量，不过之前讲解的算法是使用 移动法，这里使用了 交换法，每一轮开始，都从有序列表最后一个开始交换，直到这个有序列表的第一个元素(在此之前，这个组可能已经排序完成了)，就退出循环。

从上述推导可以找到规律，只有每次的增量在变化，因此可以修改为如下方式

    @Test
    public void shellSortTest() {
        int arr[] = {8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0};
        System.out.println("原始数组：" + Arrays.toString(arr));
        shellSort(arr);
    }

    /**
     * 根据前面的分析，得到规律，变化的只是增量步长，那么可以改写为如下方式
     */
    public void shellSort(int[] arr) {
        int temp = 0;
        // 第 1 层循环：得到每一次的增量步长
        for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2) {
            // 第 2 层和第 3 层循环，是对每一个增量中的每一组进行插入排序
            for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
                for (int j = i - gap; j >= 0; j -= gap) {
                    if (arr[j] > arr[j + gap]) {
                        temp = arr[j];
                        arr[j] = arr[j + gap];
                        arr[j + gap] = temp;
                    }
                }
            }
            System.out.println("增量为 " + gap + " 的这一轮排序后：" + Arrays.toString(arr));
        }
    }

测试输出

原始数组：[8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0]
增量为 5 的这一轮排序后：[3, 5, 1, 6, 0, 8, 9, 4, 7, 2]
增量为 2 的这一轮排序后：[0, 2, 1, 4, 3, 5, 7, 6, 9, 8]
增量为 1 的这一轮排序后：[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

到这里其实希尔排序的思想就已经讲完了，只是目前的代码欠于优化，想必你们也觉得这个交换法有很多的不足，下面进行测试就一目了然了

大数据量耗时测试

  /**
     * 大量数据排序时间测试
     */
    @Test
    public void bulkDataSort() {
        int max = 80_000;
//        int max = 8;
        int[] arr = new int[max];
        for (int i = 0; i < max; i++) {
            arr[i] = (int) (Math.random() * 80_000);
        }

        Instant startTime = Instant.now();
        shellSort(arr);
//        System.out.println(Arrays.toString(arr));
        Instant endTime = Instant.now();
        System.out.println("共耗时：" + Duration.between(startTime, endTime).toMillis() + " 毫秒");
    }

多次测试输出

共耗时：10816 毫秒
共耗时：11673 毫秒
共耗时：11546 毫秒

由于是交换法的插入排序，时间耗时较久

移动法实现希尔排序

由于交换法上面测试速度也看到了，很慢。采用 数据结构与算法——排序算法-插入排序 中的移动法来对每组进行排序

 /**
     * 移动法希尔排序
     */
    @Test
    public void moveShellSortTest() {
        int arr[] = {8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0};
        System.out.println("原始数组：" + Arrays.toString(arr));
        moveShellSort(arr);
    }

    /**
     * 插入排序采用移动法
     */
    public void moveShellSort(int[] arr) {
        // 第 1 层循环：得到每一次的增量步长
        // 增量并逐步缩小增量
        for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2) {
            /**
             这里的内层循环，除了是获得每一组的值（按增量取），
             移动法使用的是简单插入排序的算法 {@link InsertionSortTest#processSelectSort2(int[])}
             唯一不同的是，这里的组前一个是按增量来计算的
             */
            // 每一轮，都是针对某一个组的插入排序中：待排序的起点
            for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
                int currentInsertValue = arr[i]; // 无序列表中的第一个元素
                int insertIndex = i - gap; // 有序列表中的最后一个元素
                while (insertIndex >= 0
                        && currentInsertValue < arr[insertIndex]) {
                    // 比较的数比前一个数小，则前一个往后移动
                    arr[insertIndex + gap] = arr[insertIndex];
                    insertIndex -= gap;
                }
                // 对找到的位置插入值
                arr[insertIndex + gap] = currentInsertValue;
            }
            System.out.println("增量为 " + gap + " 的这一轮排序后：" + Arrays.toString(arr));
        }
    }

测试输出信息

原始数组：[8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0]
增量为 5 的这一轮排序后：[3, 5, 1, 6, 0, 8, 9, 4, 7, 2]
增量为 2 的这一轮排序后：[0, 2, 1, 4, 3, 5, 7, 6, 9, 8]
增量为 1 的这一轮排序后：[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

移动法-大数据量耗时测试

    /**
     * 移动法，大数据量测试速度
     */
    @Test
    public void moveBulkDataSort() {
        int max = 80_000;
//        int max = 8;
        int[] arr = new int[max];
        for (int i = 0; i < max; i++) {
            arr[i] = (int) (Math.random() * 80_000);
        }

        Instant startTime = Instant.now();
        moveShellSort(arr);
//        System.out.println(Arrays.toString(arr));
        Instant endTime = Instant.now();
        System.out.println("共耗时：" + Duration.between(startTime, endTime).toMillis() + " 毫秒");
    }

多次测试输出信息

共耗时：32 毫秒
共耗时：23 毫秒
共耗时：43 毫秒
共耗时：25 毫秒

可以看到，只需要几十毫秒了

算法分析

希尔排序是基于插入排序的一种算法， 在此算法基础之上增加了一个新的特性，提高了效率。希尔排序的时间的时间复杂度为O(

)，希尔排序时间复杂度的下界是n*log2n。希尔排序没有快速排序算法快 O(n(logn))，因此中等大小规模表现良好，对规模非常大的数据排序不是最优选择。但是比O(

)复杂度的算法快得多。并且希尔排序非常容易实现，算法代码短而简单。 此外，希尔算法在最坏的情况下和平均情况下执行效率相差不是很多，与此同时快速排序在最坏的情况下执行的效率会非常差。专家们提倡，几乎任何排序工作在开始时都可以用希尔排序，若在实际使用中证明它不够快，再改成快速排序这样更高级的排序算法. 本质上讲，希尔排序算法是直接插入排序算法的一种改进，减少了其复制的次数，速度要快很多。 原因是，当n值很大时数据项每一趟排序需要移动的个数很少，但数据项的距离很长。当n值减小时每一趟需要移动的数据增多，此时已经接近于它们排序后的最终位置。 正是这两种情况的结合才使希尔排序效率比插入排序高很多。Shell算法的性能与所选取的分组长度序列有很大关系。只对特定的待排序记录序列，可以准确地估算关键词的比较次数和对象移动次数。想要弄清关键词比较次数和记录移动次数与增量选择之间的关系，并给出完整的数学分析，今仍然是数学难题。

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