数据结构之AVL树详解

1. 概述

AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n），增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。

2. 基本术语

有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡，分别为：
（1）LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由1变为2
（2）RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
（3）LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由1变为2
（4）RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
针对四种种情况可能导致的不平衡，可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：
（1）左旋转：将根节点旋转到（根节点的）右孩子的左孩子位置
（2）右旋转：将根节点旋转到（根节点的）左孩子的右孩子位置

3. AVL树的旋转操作

AVL树的基本操作是旋转，有四种旋转方式，分别为：左旋转，右旋转，左右旋转（先左后右），右左旋转（先右后左），实际上，这四种旋转操作两两对称，因而也可以说成两类旋转操作。
基本的数据结构：

代码如下:

typedef struct Node* Tree;
typedef struct Node* Node_t;
typedef Type int;
 
struct Node{
 Node_t left;
 Node_t right;
 int height;
 Type data;
};
int Height(Node_t node) {
 return node->height;
}

3.1 LL

LL情况需要右旋解决，如下图所示：

代码为：

代码如下:

Node_t RightRotate(Node_t a) {
 b = a->left;
 a->left = b->right;
 b->right = a;
 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
 return b;
}

3.2 RR
RR情况需要左旋解决，如下图所示：

代码为：

代码如下:

Node_t LeftRotate(Node_t a) {
 b = a->right;
 a->right = b->left;
 b->left = a;
 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
 return b;
}

3.3 LR

LR情况需要左右（先B左旋转，后A右旋转）旋解决，如下图所示：

代码为：

代码如下:

Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {
 a->left = LeftRotate(a->left);
 return RightRotate(a);
}

3.4 RL

RL情况需要右左旋解决（先B右旋转，后A左旋转），如下图所示：

代码为：

代码如下:

Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {
 a->right = RightRotate(a->right);
 return LeftRotate(a);
}

4. AVL数的插入和删除操作

(1) 插入操作：实际上就是在不同情况下采用不同的旋转方式调整整棵树，具体代码如下：

代码如下:

Node_t Insert(Type x, Tree t) {
 if(t == NULL) {
   t = NewNode(x);
 } else if(x < t->data) {
   t->left = Insert(t->left);
   if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {
    if(x < t->left->data) {
     t = RightRotate(t);
    } else {
     t = LeftRightRotate(t);
    }
  }
 } else {
   t->right = Insert(t->right);
   if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {
    if(x > t->right->data) {
     t = LeftRotate(t);
    } else {
     t = RightLeftRotate(t);
    }
  }
 }
 t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
 return t;
}

(2) 删除操作：首先定位要删除的节点，然后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点，并重新调整以该节点为根的子树为AVL树，具体调整方法跟插入数据类似，代码如下：

代码如下:

Node_t Delete(Type x, Tree t) {
 if(t == NULL) return NULL;
 if(t->data == x) {
  if(t->right == NULL) {
   Node_t temp = t;
   t = t->left;
   free(temp);
  } else {
   Node_t head = t->right;
   while(head->left) {
    head = head->left;
   }
   t->data = head->data; //just copy data
   t->right = Delete(t->data, t->right);
   t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
  }
  return t;
 } else if(t->data < x) {
  Delete(x, t->right);
  if(t->right) Rotate(x, t->right);
 } else {
  Delete(x, t->left);
  if(t->left) Rotate(x, t->left);
 }
 if(t) Rotate(x, t);
}

5. 总结

AVL树是最早的自平衡二叉树，相比于后来出现的平衡二叉树（红黑树，treap，splay树）而言，它现在应用较少，但研究AVL树对于了解后面出现的常用平衡二叉树具有重要意义。

6. 参考资料

（1） 数据结构（C语言版） 严蔚敏，吴伟民著
（2） http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91