C语言中斐波那契数列的三种实现方式(递归、循环、矩阵)

目录

• 一、递归
• 二、循环
• 三、矩阵

《剑指offer》里讲到了一种斐波那契数列的 O(logN) 时间复杂度的实现，觉得挺有意思的，三种方法都记录一下。

一、递归

一般来说递归实现的代码都要比循环要简洁，但是效率不高，比如递归计算斐波那契数列第n个元素。

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n) {
    // printf("%d ", n);
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

如果计算数列的第4个位置上（从0开始）的数（0 1 1 2 3），也就是3，上边的 printf 输出应该是 4 3 2 1 0 1 2 1 0，这是因为计算 F(4) 要计算 F(3) 和 F(2)，而计算 F(3) 的时候又要计算 F(2) 和 F(1)，所以会有很多重复计算。用下图可以更好地说明。

递归虽然有简洁的优点，但它同时也有显著地缺点。递归由于是函数调用自身，而函数调用是有空间和时间的消耗的：每一次函数调用，都需要在内存栈中分配空间以保存参数、返回地址及临时变量，而且往栈里压入数据和弹出数据都需要时间。

而且除了效率问题之外，递归可能引起 调用栈溢出，因为需要为每一次函数调用在内存栈中分配空间，而每个进程的栈的容量是有限的。当蒂固的层级太多，就会超出栈的容量，导致栈溢出。比如上边的代码，输入40，可以正确返回 12502500，但是输入 5000 就会出错。

二、循环

最常规的正确做法就是用循环从小到大计算。

long long Fibonacci_Solution2(unsigned n) {
    if (n <= 1) return n;
    long long  fib1 = 1, fib0 = 0, fibN = 0;
    for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i) {
        fibN = fib1 + fib0;
        fib0 = fib1;
        fib1 = fibN;
    }
    return fibN;
}

或者下边这种

long long Fibonacci_Solution2(unsigned n) {
    if (n <= 1) return n;
    long long a = 0, b = 1;
    for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i) {
        b = a + b;
        a = b - a;
    }
    return b;
}

三、矩阵

数中提到了一种 O(logN) 时间复杂度的算法，就是利用数学公式计算。

首先需要知道下边这个数学公式：

这个公式用数学归纳法可以证明，所以只需要计算右边矩阵的 n-1 次方就能得到 f(n)，现在问题就变成了计算 2x2 矩阵的 n-1 次方，这样做 n-2 次乘法就可以了，时间复杂度还是 O(N)，但是还可以加速，如下式：

所以我们可以看出，想求 n 次方可以求出 n / 2 次方再平方，所以时间复杂度可以将为 O(logN)。

struct Matrix2By2 {
    Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0,	long long m11 = 0)
        :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {}
    long long m_00, m_01, m_10, m_11;
};

Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2) {
    return Matrix2By2(  matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
                        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
                        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
                        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11    );
}

Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) {
    assert(n > 0);
    Matrix2By2 matrix;
    if (n == 1)
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    else if (n % 2 == 0) {	// n是偶数
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else if (n % 2 == 1) {	// n是奇数
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }
    return matrix;
}

long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n) {
    if (n <= 1) return n;
    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    return PowerNMinus2.m_00;
}

为了测试上边三种方式的代码的正确性，可以用如下样例来测试。

// ====================测试代码====================
void Test(int n, int expected) {
    if (Fibonacci_Solution1(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution1 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution1 failed.\n", n);

    if (Fibonacci_Solution2(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution2 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution2 failed.\n", n);

    if (Fibonacci_Solution3(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution3 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution3 failed.\n", n);
}

int main(int argc, char* argv[]) {
    Test(0, 0);
    Test(1, 1);
    Test(2, 1);
    Test(3, 2);
    Test(4, 3);
    Test(5, 5);
    Test(6, 8);
    Test(7, 13);
    Test(8, 21);
    Test(9, 34);
    Test(10, 55);
    Test(40, 102334155);
    return 0;
}

到此这篇关于C语言中斐波那契数列的三种实现方式(递归、循环、矩阵)的文章就介绍到这了,更多相关C语言 斐波那契数列内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！