数据结构之伸展树详解

1、 概述

二叉查找树（Binary Search Tree，也叫二叉排序树，即Binary Sort Tree）能够支持多种动态集合操作，它可以用来表示有序集合、建立索引等，因而在实际应用中，二叉排序树是一种非常重要的数据结构。

从算法复杂度角度考虑，我们知道，作用于二叉查找树上的基本操作（如查找，插入等）的时间复杂度与树的高度成正比。对一个含n个节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为O(log n)。但如果因为频繁的删除和插入操作，导致树退化成一个n个节点的线性链（此时即为一个单链表），则这些操作的最坏情况运行时间为O(n)。为了克服以上缺点，很多二叉查找树的变形出现了，如红黑树、AVL树，Treap树等。

本文介绍了二叉查找树的一种改进数据结构–伸展树（Splay Tree）。它的主要特点是不会保证树一直是平衡的，但各种操作的平摊时间复杂度是O(log n)，因而，从平摊复杂度上看，二叉查找树也是一种平衡二叉树。另外，相比于其他树状数据结构（如红黑树，AVL树等），伸展树的空间要求与编程复杂度要小得多。

2、 基本操作

伸展树的出发点是这样的：考虑到局部性原理（刚被访问的内容下次可能仍会被访问，查找次数多的内容可能下一次会被访问），为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些节点应当经常处于靠近树根的位置。这样，很容易得想到以下这个方案：每次查找节点之后对树进行重构，把被查找的节点搬移到树根，这种自调整形式的二叉查找树就是伸展树。每次对伸展树进行操作后，它均会通过旋转的方法把被访问节点旋转到树根的位置。

为了将当前被访问节点旋转到树根，我们通常将节点自底向上旋转，直至该节点成为树根为止。“旋转”的巧妙之处就是在不打乱数列中数据大小关系（指中序遍历结果是全序的）情况下，所有基本操作的平摊复杂度仍为O（log n）。

伸展树主要有三种旋转操作，分别为单旋转，一字形旋转和之字形旋转。为了便于解释，我们假设当前被访问节点为X，X的父亲节点为Y（如果X的父亲节点存在），X的祖父节点为Z（如果X的祖父节点存在）。

（1）单旋转

节点X的父节点Y是根节点。这时，如果X是Y的左孩子，我们进行一次右旋操作；如果X 是Y 的右孩子，则我们进行一次左旋操作。经过旋转，X成为二叉查找树T的根节点，调整结束。

（2）一字型旋转

节点X 的父节点Y不是根节点，Y 的父节点为Z，且X与Y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。这时，我们进行一次左左旋转操作或者右右旋转操作。

（3）之字形旋转

节点X的父节点Y不是根节点，Y的父节点为Z，X与Y中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。这时，我们进行一次左右旋转操作或者右左旋转操作。

3、伸展树区间操作

在实际应用中，伸展树的中序遍历即为我们维护的数列，这就引出一个问题，怎么在伸展树中表示某个区间？比如我们要提取区间[a,b]，那么我们将a前面一个数对应的结点转到树根，将b 后面一个结点对应的结点转到树根的右边，那么根右边的左子树就对应了区间[a,b]。原因很简单，将a 前面一个数对应的结点转到树根后， a 及a 后面的数就在根的右子树上，然后又将b后面一个结点对应的结点转到树根的右边，那么[a,b]这个区间就是下图中B所示的子树。

利用区间操作我们可以实现线段树的一些功能，比如回答对区间的询问（最大值，最小值等）。具体可以这样实现，在每个结点记录关于以这个结点为根的子树的信息，然后询问时先提取区间，再直接读取子树的相关信息。还可以对区间进行整体修改，这也要用到与线段树类似的延迟标记技术，即对于每个结点，额外记录一个或多个标记，表示以这个结点为根的子树是否被进行了某种操作，并且这种操作影响其子结点的信息值，当进行旋转和其他一些操作时相应地将标记向下传递。
与线段树相比，伸展树功能更强大，它能解决以下两个线段树不能解决的问题：

（1） 在a后面插入一些数。方法是：首先利用要插入的数构造一棵伸展树，接着，将a 转到根，并将a 后面一个数对应的结点转到根结点的右边，最后将这棵新的子树挂到根右子结点的左子结点上。

（2）  删除区间[a,b]内的数。首先提取[a,b]区间，直接删除即可。

4、实现

代码全部来自【参考资料2】。

（1）旋转操作

// node 为结点类型，其中ch[0]表示左结点指针，ch[1]表示右结点指针

// pre 表示指向父亲的指针

// Rotate函数用于（左/右）旋转x->pre

void Rotate(node *x, int d) // 旋转操作，d=0 表示左旋，d=1 表示右旋

{

 node *y = x->pre;

 Push_Down(y), Push_Down(x);

 // 先将Y 结点的标记向下传递（因为Y 在上面），再把X 的标记向下传递

 y->ch[! d] = x->ch[d];

 if (x->ch[d] != Null) x->ch[d]->pre = y;

 x->pre = y->pre;

 if (y->pre != Null)

 if (y->pre->ch[0] == y) y->pre->ch[0] = x; else y->pre->ch[1] = x;

 x->ch[r] = y, y->pre = x, Update(y); // 维护Y 结点

 if (y == root) root = x; // root 表示整棵树的根结点

}

（2）splay操作

void Splay(node *x, node *f) // Splay 操作，表示把结点x 转到结点f 的下面

{

 for (Push_Down(x) ; x->pre != f; ) // 一开始就将X 的标记下传

 if (x->pre->pre == f) // 父结点的父亲即为f，执行单旋转

  if (x->pre->ch[0] == x) Rotate(x, 1); else Rotate(x, 0);

 else

 {

  node *y = x->pre, *z = y->pre;

  if (z->ch[0] == y)

   if (y->ch[0] == x)

    Rotate(y, 1), Rotate(x, 1); // 一字形旋转

   else

    Rotate(x, 0), Rotate(x, 1); // 之字形旋转

  else

   if (y->ch[1] == x)

    Rotate(y, 0), Rotate(x, 0); // 一字形旋转

   else

    Rotate(x, 1), Rotate(x, 0); // 之字形旋转

 }

 Update(x); // 最后再维护X 结点

}

（3）将第k个数转到要求的位置

// 找到处在中序遍历第k 个结点，并将其旋转到结点f 的下面

void Select(int k, node *f)

{

 int tmp;

 node *t;

 for (t = root; ; ) // 从根结点开始

 {

  Push_Down(t); // 由于要访问t 的子结点，将标记下传

  tmp = t->ch[0]->size; // 得到t 左子树的大小

  if (k == tmp + 1) break; // 得出t 即为查找结点，退出循环

  if (k <= tmp) // 第k 个结点在t 左边，向左走

   t = t->ch[0];

  else // 否则在右边，而且在右子树中，这个结点不再是第k 个

   k -= tmp + 1, t = t->ch[1];

 }

 Splay(t, f); // 执行旋转

}

5、 应用

（1）数列维护问题

题目：维护一个数列，支持以下几种操作：

1. 插入：在当前数列第posi 个数字后面插入tot 个数字；若在数列首位插入，则posi 为0。

2. 删除：从当前数列第posi 个数字开始连续删除tot 个数字。

3. 修改：从当前数列第posi 个数字开始连续tot 个数字统一修改为c 。

4. 翻转：取出从当前数列第posi 个数字开始的tot 个数字，翻转后放入原来的位置。

5. 求和：计算从当前数列第posi 个数字开始连续tot 个数字的和并输出。
6. 求和最大子序列：求出当前数列中和最大的一段子序列，并输出最大和。

（2）轻量级web服务器lighttpd中用到数据结构splay tree.

6、 参考资料
（1）杨思雨《伸展树的基本操作与应用》
（2）Crash《运用伸展树解决数列维护问题》