深入分析python中整型不会溢出问题

本次分析基于 CPython 解释器，python3.x版本

在python2时代，整型有 int 类型和 long 长整型，长整型不存在溢出问题，即可以存放任意大小的整数。在python3后，统一使用了长整型。这也是吸引科研人员的一部分了，适合大数据运算，不会溢出，也不会有其他语言那样还分短整型，整型，长整型...因此python就降低其他行业的学习门槛了。

那么，不溢出的整型实现上是否可行呢？

不溢出的整型的可行性

尽管在 C 语言中，整型所表示的大小是有范围的，但是 python 代码是保存到文本文件中的，也就是说，python代码中并不是一下子就转化成 C 语言的整型的，我们需要重新定义一种数据结构来表示和存储我们新的“整型”。

怎么来存储呢，既然我们要表示任意大小，那就得用动态的可变长的结构，显然，数组的形式能够胜任:

[longintrepr.h]
struct _longobject {
PyObject_VAR_HEAD
int *ob_digit;
};

长整型的保存形式

长整型在python内部是用一个 int 数组( ob_digit[n] )保存值的. 待存储的数值的低位信息放于低位下标, 高位信息放于高下标.比如要保存 123456789 较大的数字,但我们的int只能保存3位(假设):

ob_digit[0] = 789;
ob_digit[1] = 456;
ob_digit[2] = 123;

低索引保存的是地位，那么每个 int 元素保存多大的数合适？有同学会认为数组中每个int存放它的上限(2^31 - 1)，这样表示大数时，数组长度更短，更省空间。但是，空间确实是更省了，但操作会代码麻烦，比方大数做乘积操作，由于元素之间存在乘法溢出问题，又得多考虑一种溢出的情况。

怎么来改进呢？在长整型的 ob_digit 中元素理论上可以保存的int类型有 32 位，但是我们只保存 15 位，这样元素之间的乘积就可以只用 int 类型保存即可, 结果做位移操作就能得到尾部和进位 carry 了，定义位移长度为 15：

#define PyLong_SHIFT 15
#define PyLong_BASE ((digit)1 << PyLong_SHIFT)
#define PyLong_MASK ((digit)(PyLong_BASE - 1))

PyLong_MASK 也就是 0b111111111111111 ,通过与它做位运算 与 的操作就能得到低位数。

有了这种存放方式，在内存空间允许的情况下，我们就可以存放任意大小的数字了。

长整型的运算

加法与乘法运算都可以使用我们小学的竖式计算方法，例如对于加法运算:

为方便理解，表格展示的是数组中每个元素保存的是 3 位十进制数，计算结果保存在变量z中，那么 z 的数组最多只要 size_a + 1 的空间（两个加数中数组较大的元素个数 + 1），因此对于加法运算，可以这样来处理:

[longobject.c]
static PyLongObject * x_add(PyLongObject *a, PyLongObject *b) {
  int size_a = len(a), size_b = len(b);
  PyLongObject *z;
  int i;
  int carry = 0; // 进位

  // 确保a是两个加数中较大的一个
  if (size_a < size_b) {
    // 交换两个加数
    swap(a, b);
    swap(&size_a, &size_b);
  }

  z = _PyLong_New(size_a + 1); // 申请一个能容纳size_a+1个元素的长整型对象
  for (i = 0; i < size_b; ++i) {
    carry += a->ob_digit[i] + b->ob_digit[i];
    z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK;  // 掩码
    carry >>= PyLong_SHIFT;         // 移除低15位, 得到进位
  }
  for (; i < size_a; ++i) {          // 单独处理a中高位数字
    carry += a->ob_digit[i];
    z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK;
    carry >>= PyLong_SHIFT;
  }
  z->ob_digit[i] = carry;
  return long_normalize(z);          // 整理元素个数

}

这部分的过程就是，先将两个加数中长度较长的作为第一个加数，再为用于保存结果的 z 申请空间，两个加数从数组从低位向高位计算，处理结果的进位，将结果的低 15 位赋值给 z 相应的位置。最后的 long_normalize(z) 是一个整理函数，因为我们 z 申请了 a_size + 1 的空间，但不意味着 z 会全部用到，因此这个函数会做一些调整，去掉多余的空间，数组长度调整至正确的数量，若不方便理解，附录将给出更利于理解的python代码。

竖式计算不是按个位十位来计算的吗，为什么这边用整个元素？

竖式计算方法适用与任何进制的数字，我们可以这样来理解，这是一个 32768 (2的15次方) 进制的，那么就可以把数组索引为 0 的元素当做是 “个位”，索引 1 的元素当做是 “十位”。

乘法运算

乘法运算一样可以用竖式的计算方式，两个乘数相乘，存放结果的 z 的元素个数为 size_a + size_b 即可：

这里需要主意的是，当乘数 b 用索引 i 的元素进行计算时，结果 z 也是从 i 索引开始保存。先创建 z 并初始化为 0，这 z 上做累加操作，加法运算则可以利用前面的 x_add 函数：

// 为方便理解，会与cpython中源码部分稍有不同
static PyLongObject * x_mul(PyLongObject *a, PyLongObject *b)
{
  int size_a = len(a), size_b = len(b);
  PyLongObject *z = _PyLong_New(size_a + size_b);
  memset(z->ob_digit, 0, len(z) * sizeof(int)); // z 的数组清 0

  for (i = 0; i < size_b; ++i) {
    int carry = 0;     // 用一个int保存元素之间的乘法结果
    int f = b->ob_digit[i]; // 当前乘数b的元素

    // 创建一个临时变量，保存当前元素的计算结果，用于累加
    PyLongObject *temp = _PyLong_New(size_a + size_b);
    memset(temp->ob_digit, 0, len(temp) * sizeof(int)); // temp 的数组清 0

    int pz = i; // 存放到临时变量的低位

    for (j = 0; j < size_a; ++j) {
      carry = f * a[j] + carry;
      temp[pz] = carry & PyLong_MASK; // 取低15位
      carry = carry >> PyLong_SHIFT; // 保留进位
      pz ++;
    }
    if (carry){   // 处理进位
      carry += temp[pz];
      temp[pz] = carry & PyLong_MASK;
      carry = carry >> PyLong_SHIFT;
    }
    if (carry){
      temp[pz] += carry & PyLong_MASK;
    }
    temp = long_normalize(temp);
    z = x_add(z, temp);
  }

  return z

}

这大致就是乘法的处理过程，竖式乘法的复杂度是n^2，当数字非常大的时候（数组元素个数超过 70 个）时，python会选择性能更好，更高效的 Karatsuba multiplication 乘法运算方式，这种的算法复杂度是 3nlog3≈3n1.585，当然这种计算方法已经不是今天讨论的内容了。有兴趣的小伙伴可以去了解下。

总结

要想支持任意大小的整数运算，首先要找到适合存放整数的方式，本篇介绍了用 int 数组来存放，当然也可以用字符串来存储。找到合适的数据结构后，要重新定义整型的所有运算操作，本篇虽然只介绍了加法和乘法的处理过程，但其实还需要做很多的工作诸如减法，除法，位运算，取模，取余等。

python代码以文本形式存放，因此最后，还需要一个将字符串形式的数字转换成这种整型结构:

[longobject.c]
PyObject * PyLong_FromString(const char *str, char **pend, int base)
{
}

这部分不是本篇的重点，有兴趣的同学可以看看这个转换的过程。

参考：https://github.com/python/cpython/blob/master/Objects/longobject.c

附录

# 例子中的表格中，数组元素最多存放3位整数，因此这边设置1000
# 对应的取低位与取高位也就变成对 1000 取模和取余操作
PyLong_SHIFT = 1000
PyLong_MASK = 999

# 以15位长度的二进制
# PyLong_SHIFT = 15
# PyLong_MASK = (1 << 15) - 1

def long_normalize(num):
  """
  去掉多余的空间，调整数组的到正确的长度
  eg: [176, 631, 0, 0] ==> [176, 631]
  :param num:
  :return:
  """
  end = len(num)
  while end >= 1:
    if num[end - 1] != 0:
      break
    end -= 1

  num = num[:end]
  return num

def x_add(a, b):
  size_a = len(a)
  size_b = len(b)
  carry = 0

  # 确保 a 是两个加数较大的，较大指的是元素的个数
  if size_a < size_b:
    size_a, size_b = size_b, size_a
    a, b = b, a

  z = [0] * (size_a + 1)
  i = 0
  while i < size_b:
    carry += a[i] + b[i]
    z[i] = carry % PyLong_SHIFT
    carry //= PyLong_SHIFT
    i += 1

  while i < size_a:
    carry += a[i]
    z[i] = carry % PyLong_SHIFT
    carry //= PyLong_SHIFT
    i += 1
  z[i] = carry

  # 去掉多余的空间，数组长度调整至正确的数量
  z = long_normalize(z)

  return z

def x_mul(a, b):
  size_a = len(a)
  size_b = len(b)
  z = [0] * (size_a + size_b)

  for i in range(size_b):
    carry = 0
    f = b[i]

    # 创建一个临时变量
    temp = [0] * (size_a + size_b)
    pz = i
    for j in range(size_a):
      carry += f * a[j]
      temp[pz] = carry % PyLong_SHIFT
      carry //= PyLong_SHIFT
      pz += 1

    if carry:  # 处理进位
      carry += temp[pz]
      temp[pz] = carry % PyLong_SHIFT
      carry //= PyLong_SHIFT
      pz += 1

    if carry:
      temp[pz] += carry % PyLong_SHIFT
    temp = long_normalize(temp)
    z = x_add(z, temp)  # 累加

  return z

a = [543, 934, 23]
b = [632, 454]
print(x_add(a, b))
print(x_mul(a, b))