Python实现求解最大公约数的五种方法总结
目录
- 方法一:短除法
- 方法二:欧几里得算法(辗转相除法)
- 方法三:更相减损术
- 方法四:穷举法(枚举法)
- 方法五:Stein算法
求最大公约数是习题中比较常见的类型,下面小编会给大家提供五种比较常见的算法,记得帮忙点个赞哦!
一般来说,最大公约数的求法大概有5种
方法一:短除法
短除法是求最大公因数的一种方法,也可用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法,开始时用观察比较的方法,即:先把每个数的因数找出来,然后再找出公因数,最后在公因数中找出最大公因数。后来,使用分解质因数法来分别分解两个数的因数,再进行运算。之后又演变为短除法。短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数,以此类推,除到两个数的商是互质数为止。
简单来说就是逐步找出两个数的所有公约数,再将这些公约数累乘起来,就能得到最大公约数啦!
a=int(input("please input the first number:")) b=int(input("please input the second number:")) m,n=a,b # 创建两个变量存储a和b t=1 # 创建t作为最大公约数的载体 for i in range(2,min(a,b)): while (a%i==0 and b%i==0): t*=i # 所有公约数累乘起来 a/=i b/=i print((f"{m},{n}的最大公约数为:{t}"))
这种方法虽然有点麻烦,但是逻辑却很清楚,不容易出错。
方法二:欧几里得算法(辗转相除法)
欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。
假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法,是这样进行的:
1997 / 615 = 3······152
615 / 152 = 4······7
152 / 7 = 21······5
7 / 5 = 1······2
5 / 2 = 2······1
2 / 1 = 2······0
至此,最大公约数为1
以除数和余数反复做除法运算,当余数为 0 时,取当前算式除数为最大公约数,所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。
明白了这其中的逻辑,我们就可以着手开始写程序啦!
a=int(input("please input the first number:")) b=int(input("please input the second number:")) # 首先要给两数排序,保证大数除以小数 m=max(a,b) n=min(a,b) t=m%n while t!=0: m,n=n,t # 仔细观察不难发现:每个除式的m、n是都是上一个式子的n和余数 t=m%n # 更新余数 print(f"{a}和{b}的最大公约数为{n}")
当然了,递归方法也能实现欧几里得算法。
def GCD(a,b): # 比较大小,保证大数除以小数 if a<b: a,b=b,a # 判断是否能整除,若能整除,直接返回被除数 if a%b==0: return b # 若不能整除,则返回函数GCD,参数做相应变化 else: return GCD(b,a%b) a=int(input("please input the first number:")) b=int(input("please input the second number:")) gcd=GCD(a,b) print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")
方法三:更相减损术
更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合。原文是:
可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。
白话文译文:
(如果需要对分数进行约分,那么)可以折半的话,就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话,那么就比较分母和分子的大小,用大数减去小数,互相减来减去,一直到减数与差相等为止,用这个相等的数字来约分。
具体步骤:
第一步:任意给定两个正整数;判断它们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。
第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”,就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。
现在使用更相减损术求98与63的最大公约数。
解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减:
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以,98和63的最大公约数等于7。
a=int(input("please input the first number:")) b=int(input("please input the second number:")) # 首先要给两数排序,保证大数减小数 m=max(a,b) n=min(a,b) # 判断两数是否都是偶数,如果都是偶数就同时除2 while m%2==0 and n%2==0: m,n=m/2,n/2 t=m-n # 判断条件是减数和差相等 while n!=t: m,n=max(n,t),min(n,t) # 每减一轮之后,都要重新判断减数和差的大小,再次以大数减去小数 t=m-n print(f"{a}和{b}的最大公约数为{n}")
方法四:穷举法(枚举法)
从两个数中较小数开始,由小到大列举,找出公约数并保证该公约数也属于较大数,这些公约数的最大者就是最大公约数;也可以从大到小列举,直到找出公约数后跳出循环,该公约数即是最大公约数。
a=int(input("please input the first number:")) b=int(input("please input the second number:")) p,q=min(a,b),max(a,b) lst=[] for i in range(1,p+1): if p%i==0 and q%i==0: lst.append(i) gcd=max(lst) print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}") #a=int(input("please input the first number:")) #b=int(input("please input the second number:")) #p,q=min(a,b),max(a,b) #gcd=0 #for i in range(p,0,-1): # if p%i==0 and q%i==0: # gcd=i # break #print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")
方法五:Stein算法
Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法,是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时,需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。
欧几里得算法缺陷:
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷,这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的,只有在大素数时才会显现出来。
一般实际应用中的整数很少会超过64位(当然已经允许128位了),对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
看下面两个结论:
gcd(a,a)=a,也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。
gcd(ka,kb)=k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
当k与b互为质数,gcd(ka,b)=gcd(a,b),也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地,当k=2时,说明计算一个偶数 和一个奇数的最大公约数时,可以先将偶数除以2。
:param a: 第一个数
:param b: 第二个数
:return: 最大公约数
def gcd_Stein(a, b): # 保证b比a小 if a < b: a, b = b, a if (0 == b): return a # a、b都是偶数,除2右移一位即可 if a % 2 == 0 and b % 2 == 0: return 2 * gcd_Stein(a / 2, b / 2) # a是偶数 if a % 2 == 0: return gcd_Stein(a / 2, b) # b是偶数 if b % 2 == 0: return gcd_Stein(a, b / 2) # 都是奇数 return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2) a=int(input("please input the first number:")) b=int(input("please input the second number:")) gcd=int(gcd_Stein(a,b)) print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")
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