Java代码为例讲解堆的性质和基本操作以及排序方法

堆的性质
堆是一棵完全二叉树，实际中可以通过一个数组来实现，它最重要的一个性质是：任意节点都小于（大于）等于其子节点。将根节点最小的堆称为最小堆，根节点最大的堆称为最大堆。下图给出了一个最大堆的示例及其数组表示，可以直观地看出每个节点都比它的孩子们都要大。

在上图中可以看到，完全二叉树的节点可以从根节点编号为1开始按顺序排列，对应数组A中的索引（注意此处下标是从1开始的）。给定一个节点i，我们很容易可以得到它的左孩子是2i，右孩子是2i+1，父节点是i/2

堆的基本操作
堆有两种基本操作（下面以最小堆为例）：
插入元素k：直接将k添加到数组最后，然后向上冒泡（bubble-up）调整堆。向上冒泡操作：将要调整的元素与其父节点比较，如果大于其父节点则交换，直到恢复堆的性质。
提取最值：最值即根元素。然后将其删除，令根元素=最后的叶子结点元素，然后从根元素开始向下冒泡（bubble-down）调整堆。向下冒泡操作：每次应该从要调整节点，其左右孩子一共三个节点中选择最小的子节点来交换（如果最小就是其本身就不用交换），直到恢复堆的性质。
实际中经常需要将一个包含n个元素无序数组建立成堆，下面的Heap类中的构造方法将展示如何通过_bubbleDown向下冒泡调整来建堆。堆实质上是一棵完全二叉树，树高总为lognlog⁡n，每种基本操作的耗时操作都在于冒泡调整以满足堆的性质，因此它们的时间复杂度都是O(nlogn)O(nlog⁡n)。
Java示例：

//上浮
public void swim(int k){
  while(k/2>=1 && less(pq[k/2],pq[k])){
    exch(pq,k/2,k);
    k=k/2;
  }
}
//下沉
private void sink() {
  int k=1;
  while(2*k<N){
    int j=2*k;
    if(less(pq[j],pq[j+1])) j++;
    if(less(pq[k],pq[j])) exch(pq,k,j);
    else break;
    k = j;
  }
}

堆排序实现原理
分为两步：
1.把数组排成二叉堆的顺序
2.调换根节点和最后一个节点的位置，然后对根节点进行下沉操作。

实现：
可能我的代码和上面的动画略有出入，不过基本原理差不多。

public class HeapSort extends BaseSort {

  private int N;
  @Override
  public void sort(Comparable[] a) {
    N =a.length-1;
    int k = N/2;
    while(k>=1){
      sink(a,k);
      k--;
    }
    k = 1;
    while(k<=N){
      exch(a,k,N--);
      sink(a,k);
    }
  }
}
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