C++中求组合数的各种方法总结详解

【问题】      组合问题

问题描述：找出从自然数1、2、... 、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为:

1,2,3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
1,2,5
1,3,5
2,3,5
1,4,5
2,4,5
3,4,5

用程序实现有几种方法:

1)穷举法

程序如下
【程序】
#include<stdio.h>
const int n=5,r=3;
int    i,j,k,counts=0;

int main()
{
     for(i=1;i<=r ;i++)
        for(j=i+1;j<=r+1;j++)
            for( k=j+1;k<=r+2;k++){
               counts++;
               printf("%4d%4d%4d/n",i,j,k);
           }
printf("%d",counts);
return 0;
}
但是这个程序都有一个问题，当r变化时，循环重数改变，这就影响了这一问题的解，即没有一般性。

2)递归法
分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。
设函数为void    comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、... 、m中任取k个数的所有组
合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这
就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引
入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放
在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、
...、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组
合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节
见以下程序中的函数comb。
【程序】
#include <time.h>
#include <iostream>

using namespace std;

# define      MAXN      100
int a[MAXN];
int counts=0;

void printtime(void) //打印当前时间的函数
{
      char tmpbuf[128];
      time_t ltime;
      struct tm *today;

time(&ltime);
      today = localtime(&ltime );
      strftime(tmpbuf,128,"%Y-%m-%d %H:%M:%S",today);
      cout<<tmpbuf<<endl;
}

void      comb(int m,int k)
{     int i,j;
      for (i=m;i>=k;i--)
      {     a[k]=i;
          if (k>1)
              comb(i-1,k-1);
          else
          {  
              counts++;
              /*
              for (j=a[0];j>0;j--)
                  printf("%4d",a[j]);
              printf("/n");
              */
          }
      }
}

int main()
{

int m,r;
      cout<<"m"<<endl;
      cin>>m;
      cout<<"r"<<endl;
      cin>>r;
      counts=0;
      a[0]=r;
      printtime();
      comb(m,r);
      cout<<counts<<endl;
      printtime();
      return 0;
}

这是我在网上找到的程序，稍微修改了一下。程序写的很简洁，也具有通用性，解决了问题。

3)回溯法

采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]
中，组合的元素满足以下性质：

（1）     a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；
（2）     a[i]-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：
      首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选
解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合
改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全
部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以
及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调
整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，
4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部
解。

在网上我始终没有找到可以正常执行的完整程序，所以我只好花了一天的时间来自己来写这个程序，并且改变输出从0开始而不是从1开始，这样做的目的是 为了扩展程序的用途，适应c/c++语言的需要，这样输出就可以当作要选择的组合数组的地址序列，可以对长度为n任意类型数组找出r个组合。我对它进行了 优化，如果你认为还有可以优化的地方，请不惜赐教,。^_^

#include <time.h>
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

# define      MAXN      100
int a[MAXN]; //定位数组,用于指示选取元素集合数组的位置，选取元素集合数组0 起始
void comb(int m,int r)
{  
      int cur;//指示定位数组中哪个成员正在移进

unsigned int count=0;

//初始化定位数组，0 起始的位置 ，开始的选择必是位置 0，1，2
      for(int i=0;i<r;i++)
          a[i]=i;

cur=r-1;//当前是最后一个成员要移进

do{
          if (a[cur]-cur<=m-r ){

count++;
              /*
              for (int j=0;j<r;j++)
                  cout<<setw(4)<<a[j];
              cout<<endl;
              */
              a[cur]++;

continue;
          }
          else{
              if (cur==0){
                  cout<<count<<endl;
                  break;
              }

a[--cur]++;
              for(int i=1;i<r-cur;i++){
                  a[cur+i]=a[cur]+i;
              }

if(a[cur]-cur<m-r)
                  cur=r-1;               
          }
      }while (1);
}

void printtime(void) //打印当前时间的函数
{
      char tmpbuf[128];
      time_t ltime;
      struct tm *today;

time(&ltime);
      today = localtime(&ltime );
      strftime(tmpbuf,128,"%Y-%m-%d %H:%M:%S",today);
      cout<<tmpbuf<<endl;
}

int main (int argc, char *argv[])
{

int m,r;
      cout<<"m"<<endl;
      cin>>m;
      cout<<"r"<<endl;
      cin>>r;
      printtime();
      comb(m,r);   
      printtime();
      return(0);
}

同上面的递归的程序进行比较，同样用g++ o2优化。当n=40，r=11，屏蔽掉输出，得到的结果都是2311801440项，递归程序用了23至24秒，回溯用了19至20秒。

4）利用数组

定义：从n个数中取出m个数的组合。
  实现机理：先创建一个字符串数组，其下标表示 1 到 n 个数，数组元素的值为1表示其下标代表的数被选中，为0则没选中。    
    然后初始化，将数组前 m 个元素置 1，表示第一个组合为前 m 个数。    
    然后从左到右扫描数组元素值的 10 组合，找到第一个 "10" 后交换 1 和 0 的位置,变为 01，而后将该10组合前的1和0重新组合（1放在前边，其个数为10组合前1的个数，0放在后边，其个数为10前0的个数，而后接10的倒转组合 01）。当m 个 1 全部移动到最右端时，就得到了最后一个组合。    
    例如求 5 中选 3 的组合：    
    1     1     1     0     0     //1,2,3    
    1     1     0     1     0     //1,2,4    
    1     0     1     1     0     //1,3,4    
    0     1     1     1     0     //2,3,4    
    1     1     0     0     1     //1,2,5    
    1     0     1     0     1     //1,3,5    
    0     1     1     0     1     //2,3,5    
    1     0     0     1     1     //1,4,5    
    0     1     0     1     1     //2,4,5    
    0     0     1     1     1     //3,4,5